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Full text of "Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues"

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Les systè;r:es ù^i-rx-jf 
'aires à Infini t-' 



•onues, 



11^ 



LES SYSTEMES 



D'ÉQUATIONS LINÉAIRES 

A UNE INFINITIÎ D'INCONNUES. 



A LA MÊME LIBHAIRIE. 



COLLRCTION DR MONOGHAPHIKS SUR LV TUKORIE DES FONCTIONS, 

PlIBLIKE SOUS LA DIRECTION DE M. KmII.E BOIŒL, 

Professeur de Tiikohie des Fonctions a l'Université de Paris. 



Leçons sur la théorie des fonctions ( Eléments de la théorie des 

ensembles et npplicdlions). par Ivmile Boiîel; 189S .Wr. 5o 

Leçons sur les fonctions entières, par É.milk Borel; 1900 3 fr. 5o 

Leçons sur les séries divergentes, par Emile Borel; rgoi 4 fr. 5o 

Leçons sur les séries à termes positifs, professées au Collège de 

l"rarice |iar Emile Iîoiikl, iédii;écs par H. d'Adhémar; 1902 .1 fr. 5o 

Leçons sur les fonctions méromorphes, professées au Collège de 

l'r.iiice par Ivmii.i: lîoiii;r., iédii;éfs |)ai- Ludovic Zoretti; i()o3. 3 fr. 5o 

Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primi- 
tives, professées an ('.ollèiie de France par IIiomm Ui;i!i;sgli: : h)0|.... 3 fr. 5o 

Leçons sur les fonctions de variables réelles et les dévelop- 
pements en séries de polynômes, [)rofessées à l'Ecole Normale 
par Emili; lîor.i.i., rédifiécs |)ar Maurice Fréchet, avec des Noies de 
I'ail Paim.kvk cl de IIkniu Lebi:s(ui; ; igoS /l fr. 5o 

Leçons sur les fonctions discontinues, professées au Collège de 

France pai' ItKNi: Bairk, rcdii;é<'s par.l. Denjoy; i()o') 3 fr. 5o 

Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonc- 
tions, par lùtNST LiNDKi.ùi' ; lyo") 3 fr. 5o 

Leçons sur les séries trigonométriques, professées an Collège de 

l-ranc:: par Henri LkbesCtUI': ; if)oii 3 fr. rio 

Leçons sur les fonctions définies par les équations différentielles 
du premier ordre, professées au Collège de France par Pierre Bou- 
TROix, avec, nni; Noie de Paul Painlevé ; 1908 'i fr. îo 

Principes de la théorie des fonctions entières d'ordre infini, 

|)ar Otto Blumknthal ; 1910 5 fr. .'jo 

Leçons sur la théorie de la croissance, par Emile Borel, rédigées 

par A . Denjoy ; 1910 5 fr. 5o 

Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe, 

par Paul Montkl; 1910 '. ,^.- 3 fr. 5o 

Leçons sur le prolongement analytique, professées an Collège de 

l'iaiice par Ludovic Zokktti ; 1910 ' 3 fr. 76 

Leçons sur les singularités des fonctions analytiques, par 

P. I)iknm:s; 1913 .'> fr. ôo 

Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro- 
difîérentielles, professées à la Faculté des Sciences de Rome en 1910 
paiNiTo Noltep.ra, rédigées par^/. Tomassetti cV F. -S. Zarlatti; 1913. 5 fr. 3o 

Leçons sur les fonctions de lignes et leurs applications, professées 
à la Sorljoniie en i(|i:!. par \iTo Xoi.teriia, 191!! ( Sous presse.) 




COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS, 

PUBLIÉES SOUS I.A DIRECTION DE M. ÉmILE BoREL. 



LES SYSTÈMES 



D'ÉOUATIONS LINÉAIRES 



A UNE INFINITÉ D'INCONNUES 



PAU 



Frédéric RIESZ, 

PROFKSSKUR A l'UMVEUSITK HOYALE HONGROISE DE KOI.OZSVÂR. 





PARIS, 
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

DU BUniCAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 
Quai des Grands-Augustins, 55. 

1913 




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Tous droits de Iraduclion, de reproduction et d'adaptation réservés 
pour tous pays. 



PREFACE. 



Je voudrais donner dans ce Volume un exposé rapide des 
idées fondamentales, des méthodes et des principaux résul- 
tats d'une théorie qu'on doit presque exclusivement à des 
géomètres contemporains. Personnellement, je n'ai contribué 
que bien peu à cette théorie, et si j'ai entrepris ce travail, 
c'est que j'y fus encouragé par mes recherches concernant 
quelques sujets voisins, parmi lesquels les systèmes ortho- 
gonaux de fonctions, les équations intégrales et les opéra- 
tions fonctionnelles. Continuées par plusieurs auteurs, ces 
recherches se sont montrées plus ou moins fécondes pour les 
applications de la théorie actuelle et, d'autre part, elles m'ont 
permis de présenter quelques parties de celte théorie sous 
des aspects nouveaux. C'est ainsi, par exemple, que je pou- 
vais rattacher l'étude du spectre des formes quadratiques à 
une infinité de variables à celle des opérations fonctionnelles 
linéaires. 

Notre sujet n'appartient pas à la Théorie des fonctions 
proprement dite. 11 devra plutôt être considéré comme mar- 
quant une première étape dans la Théorie des fondions 
d'une infinité de variables^ encore naissante, mais (pii 
fournira peut-être bientôt les méthodes les plus puissantes 
de toute l'Analyse. En tout cas, je pense que le sujet et la 
disposition du présent Volume sont en bon accord avec le 



^' PRÉFACE. 

plan général de cette Collection, où M. Borel m'a aimable- 
ment offert de le comprendre. 

Enfin, j'ai à remercier M. Fréchel et M. Marcel Riesz des 
conseils précieux qu'ils m'ont donnésau cours de la correc- 
tion des épreuves. 

Kolozsvàr, le 12 juin 1913. 

Frédéric Riesz. 



LES SYSTEMES 

D'ÉQUATIONS LINÉAIRES 

A UNE INFINITÉ D'INCONNUES. 



CHAPITRE I. 

Li:S COMMENCEMENTS DE LA THÉOIUE. 
MKTIIODE DICS COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS. 

1. La théorie des équations à une infinité d'inconnues ne date 
pas de loin. En efl'el, une telle théorie existait à peine avant i886, 
l'année où Poincaré démontrait la légitimité de la méthode des 
déterminants d'ordre infini. D'ailleurs, lattenlion générale n'y 
fut attirée, en réalité, que par deux Mémoires de IM. Hilbert, 
parus en 1906 et faisant partie d'une série de Mémoires sur 
l'équation de Fredholm; dès lors, la théorie se dégageait rapi- 
dement et l'importance et l'inattendu des résultats acquis fit 
|)resque oublier tout ce que l'on en possédait déjà auparavant. 

Cependant, les théories ont leurs commencements : des allusions 
vagues, des essais inaclie\és, des problèmes |nirliculiers: et même 
lorsque ces commencements importent peu dans 1 étal actuel de 
la Science, on aurait tort de les passer sous silence. 

2. L'étude des systèmes d'équations à une inlinité d'inconnues 
fut suscitée par la méthode des coefficients indéterminés. Cette 
métliode, applicpiée (le[)uis le xvii'^ siècle à l'intégration des écpia- 
tions dillérentielles par des séries et à d'autres problèmes, con- 
siste en princi|)e à remplacer la fonction cherchée par une séiic à 
coefficients inconnus. Alors les données du prohlènie per- 
mettront d'établir entre ces coejjicienls inconnus, en nombre 
infini^ une infinité de relations ; voilà le système d^ équations 
à une infinité d'inconnues. 

\\ i 



CIIAl'ITItE I. 



Gepentlaiil, pnur la pliiparl des problèmes ainsi trailés, I iiili- 
nilé (lu nonibre des inconnues ne comportait aucune difficulté et, 
à ce qu'il semble, on ne se rendait même pas compte qu'il s'agis- 
sait de quelque id»''e nouvelle. C'est qu'on no tombait tpie sur des 
systèmes récuriciits. où chacune des équations eu elle-même ne 
contenait quiin nombre fini d'inconnues et l'on n avait à 
résoudre que des systèmes finis, bien qii une infinité de j ois. 



FOLIUEK i:r LE l'IUNCIl'E DES KEI)L■ITE^^ 



3. En étudiant un cas particulier de ce (|u"on appelle aujour- 
dliui probtènie de Diriclilel, h'oui-ier [oiubail, dans sa Théorie 
analytique de la chaleiu., à un système (pii n'était plus récur- 
rent, il se proposait de déterminer une solution v[x, y) de l'équa- 
tion à dérivées partielles 

valable dans le domaine 

^ > o, — - <r < -■) 

se réduisant à i j)onr x^o, s'aiiuulant ])()ur y = zn - et 
pour j; = cc('). \ oilà comment il opère. Tout d abord, il pose 

v{x,y)=V{x)f(y) 

et clierche à satisfaire à l'équation ( i ) sans se soucier des données 
sur la frontière. Il trouve ainsi la solution particulière 

{■i) i'(x, y) ^^ e-'"^ cosfuy, 

où m désijj;ne un nombre réel (pielcoiiquc. \ln choisissant /// 
positif, entier et impair, la solution {2) rem|)lit les conditions- 
limite, sauf la première. Or, Fourier pose 

^'(^^ y ) = ^ «/" <'-(-"'-•••* cos(2/?i — \)y; 

et il ne le^le qu'à déterminer les coefficienls a,„ de façon que. 
|)Our x = o, la somme v(x,y) de la série se rt-duise à i. Cela 

('^ Art. l(j(j cl Miiv. 



LES COMMENCEMENTS I>E LX THÉORIE. 3 

revient, dil-il, ;'i ce que 

(3) I = ^ a,„ cos{-ini —i)y. 

Pour cliasser encore la variable j', il difTérenlie réqualion terme 
à ternie une inlinilé de fois et pose y = o; ce (jui fournit 

I I = S <■?,„. 
) G = S {i/n —iy-a,„. 
G = S ( 2//? — i)*a,„, 



système d'une infinité ((''équations linéaires aux inconnues 
a m, en nombre infini. 

A. Pour le résoudre, Fourier prend les /,• premières ér^ualions, 
n'y conserve que les le premières inconnues et néglige tous les 
termes qui dépendent des autres inconnues. En désignant les 
inconnues de ce système réduit par 

et j , " 2 ) • ■ • 1 '■' K- ^ 

on obtient, par un calcul facile à exécuter, 
,., g.iâ. . .(aA- — I)- 



.24...(4A-^— 4A) 
ce qui donne, en vertu d'une formule bien connue de Wallis, 



lim a'/' = 
/. = «= 



De plus, le système réduit donne, pour //i<;/.', 



a'J',^^ 1/» 


— I m — /. 


a',i'> im 


-^1 m—k' 


lim ''"'^' - 


im — I 



on en conclut 

a\ 
uni — 

et par récurrence 

li.na;,i' = (-i)'«-i (1). 

/, = » r: (■'./?? — n 

(') Nous venons de calculer ceUe valeur limite par une voie clillerenlc de celle 
de Fourier, dont le calcul est un peu plus laborieux. Les principes essentiels du 
raisonnement n'en seront pas modifiés. 



4 cii.vi'iTni; i. 

Enfin, en posant 

il vient 

j v^ e - ■-'"-'-«■ cos( > m — I ) r 

t;(j;.j) = 1 > (— Ij'"-' — ^• 

m = I 

o. Ce résultat de Fouricr est, sans tluiite, exact. En efTet, en 
comparant la séi'ie (5j et ses dérisées de tons les ordres respec- 
tivement aux séries 



^■iin — i ^^ ' ^ 



De 



— 2//I — iJ-o 



on en conclut tpi'elles converj;ent uniformément pour x> Xo'>o^ 
qu'elles s'annulent uniformément lorscpie x croit indélinimenl, 

que v{x,y) s'annule pour j:>o,y = =!= - ; et, enfin, la dilTéren- 

tiation terme à terme étant légitime, la fonction i-{x,y} satisfait 

à l'équation (i). En ce qui concerne la partie x = o. — ""<.'' < Tj 

de la frontière du domaine, la série (5) y converge vers la limite i, 

et cela uniformément sur tout seiinienl {—- — h.- — h); déplus, 

la fonction v{x^ y) tend vers cette valeur lorsque, en partant de 
l'intérieur du domaine, on s'approche indéfiniment d'un tel seg- 
ment, (hiant aux points (o, - j, (o, ~ -j, où les valeurs données 

subissent des changements, brusques, la fonction v{x^y) y reste 
indéterminée, les limites d'indétermination étant o et i. Tous 
ces faits se rattachent à la remartpie suivante. En introduisant 
les variables 

ce (jui fait correspondre au dcnnaine en\ isagé le demi-cercle 

r<\, _I:<0<-, 
j. •>. 

la fonction ('(j7, y) devient la partie réelle de Tune des branches 
de la fonction analytique 



LES COMMENCEMENTS DE I.A THEORIE. ^ 

Celle parlic réelle a une signitlcation géomélrM|iie bien simple; 
elle est égale à la luoilié de l'angle dont les colés joignent le 
point z aux points / et — /. On en lire toutes les conséquences 
annoncées. 

6. Le résultai de Fourier est donc exact. Mais, quant à son 
raisonnement, on v peut o|>poser bien des objections sérieuses. 
Fourier raisonnait sur une série inconnue; il ne pouvait se 
douter des périls qui le menaçaient; aussi, à cette époque, on 
avait encore confiance. Mais, depuis lors, on apporte plus de pré- 
caution à toute question concernant l"infini. Méfiant comme 
nous, Fourier aurait-il osé prendre le chemin qu'il avait suivi? 

Contentons-nous d"indi(pier l'étape la plus scabreuse de son 
raisonnement. 11 ramène son proldème à celui de déterminer une 
série de forme (3), de façon qu'elle représente, dans l'inter- 
valle (— -' -), la fonction égale constamment à i. Pour calculer 
les a„i, il différenlie l'équation (3) une infinité de fois et pose 
y = o: il en résulte le système d'équations (4). Or, à partir 
de la seconde de ces équations, les séries qui y figurent diver- 
geront lorsqu'on y aura remplacé les a,n par leurs valeurs trou- 
vées -^ — -. Donc, au ijremier abord, les valeurs obtenues pour 

-(•2W — 1) l , , TT 

\esa,n ne paraissent pas satisfaire au système (4)- Heureusement, 
nous savons aujourd'hui interpréter de vastes catégories de séries 
divergentes, en leur attribuant des sommes qui jouissent encore 
de certains caractères principaux des sommes des séries conver- 
gentes. Dans cet ordre d'idées, pour justifier le procédé de 
Fourier, on n'aura qu'à remplacer le système (4) par le suivant : 



(6) 



Cette interprétation du système (4) est l)ien conforme au pro- 
blème traité ('). En effet, les valeurs trouvées pour les a,„ 

(') On aurait pu aussi appliquer d'aulrcs inctliodcs de somuialion ; par exemple 



I 


/ 


liin 1 <7,„7-2"'-i, 







Uni Kam — i)-rt,„ /•-"'-'. 

• = 1 - 


G 


/ 


lim :i: (2m — I )Vo„/--'" ■', 

■ = 1 — (1 



6 CIIAPITHE I. 

salisfunl au système (6), et ce fait se rallache à ce que la fonc- 
lion f{z), tiélinie plus haut, est li(»lonior|)lic pour z =- ] . 

7. Fouricr a|j|)lii|ue sa uiélliodc aussi à un problème plus 
général : déi^elopper en série lrii^onoui<''lii(jiu' une fonction 
impaire donnée jxir sa série de laylor 

La fonction étant supposée impaire, il s'agit évidomuient de 
trouver un développement de la forme 

oc 

(7) f{^) =^ b,n ûnnix. 

Pour déterminer les bm, Fourier se sert d'un procédé pareil à 
celui que nous venons d'exposer : il diflérentie les deux membres 
de {-) une infinité de fois et [lose xz=o; ou j)lutot, ce qui 
revient au même, il dé\elopf)e les deux meuibres de ( -j ) en séries 
entières et il compare les coefiicients des mêmes puissances. Ce 
procédé lui fournit un système infini d'équations aux inconnues 
bm', il en prend les A" premières, ne conserve que les k premières 
inconnues et résout le système réduit; puis il passe à la limite, si 
l'on peut appeler passade à la limite le calcul extrêmement hardi 
(juil exécute. Ce calcul donne 

i,„=(-,)-.;^ [/(.)- ^/'(.)^^/.v<.)-...]. 

l'our en déduire le résultat final, Fourier rcnuirquc (pio la 
série 

s(x) =/(x) - ~/"(^) + -^J'U-r)-.. . 



la série en question 

■^ f— i)w-i 
jLd ( 07)1 — iy^/.-+-i 

est sommable à l'aide des iiiuyenncs arilluucliquesirordic ?. /: el ce procédé foui'nit 
aussi, pour Â" > o, la somme o. 
(=) Art. 101 et suiv. 



I.KS COMMENCEMIîNTS D\i LA TIIKORIE. y 

satisfait à rc(|uation difrérenticlle 

— - s"(x) -h s(x) — f( x). 

L'intégrale gént'rale de cette é(|iialion est 
s{x) =■ C| cos/n.r -T- Co sin inx 

-i- ms'innix I /(x ) cosmx dx — m cns mx /(x)sinnxclx. 

Or, la fonction s(x) étant impaire en même temps que f{x), 
on a 

C, = ;ç(o) = o; 

et, en posant a: = tz, il résulte la formule bien connue 
(8) b„i=^ I f (x) S'in nix dx. 

" '- 

8. Le raisonnement de Fourier n'est pas exact, et même il ne le 
pourrait être rendu que dans des conditions très restrictives, por- 
tant sur la fonclion donnée /(.r). Mais, d'autre pari, la théorie des 
séries trigonométriques ayant été basée depuis sur des fondements 
plus solides, on sait maintenant que la validité de la formule (8) 
n'exige que des conditions très larges. En fait, pour la théorie des 
séries trigonométriques, le raisonnement de Fourier ne constitue 
qu'une curiosité intéressante de valeur purement historique. Mais, 
pour nous, il contient quelque chose de très précieux : c'est qu'il 
implique un principe extrêmement fécond au point de vue de nos 
équations. Voici ce principe, qui bien entendu de\ru encore être 
beaucoup précisé : Pour résoudre un système infini d'équations à 
une infinité d inconnues, on limite le svstème aux k premières équa- 
tions et l'on y néglige toutes les inconnues, sauf les k premières. 
Les solutions de ces systèmes tendent, pour k infini, vers la solu- 
tion du système proposé. 

Ce principe, dont la légitimité peut être justifiée sous des hypo- 
thèses larges, se montrerait très fécond pour la théorie en vue. 
Nous l'appellerons /:>/'mc//?e des réduites. 

9. Noii> \enons d'examiner le principe des réduites au point de 



ciiai'ukk I. 



\ ne du parli qifeii ;i lir('' b'oiiricr. l'2a\ isai;eons inainlcnanl 
le même |)rinci|)e en [lariaiil d un llu-orèine classi(|iie qui appai- 
lieulà la Tli('oric(lcs fondions. I )"a|)r('.s Weierstiass, élaiit donnée 
la suite indélinie des ([uanlili's ni Irllcs (|ue ]rt,|— ^x. il exisie 
une fonction entière 

admettant les rt/ pour racines et n en admettant pas d'autres. Les 
coefficients Co, Ci, Co, ... de\ront satisfaire aux équations 

Co-t- Ci«,-+- Go»/ -f-. . . = o (f = 1, 2, . . .). 

Je suppose, pour lixer les idées, (pu; les cii soient distincis 
et 7^0. Alors le prinri|)e des réduiles, appliqué à nos équations, 
conduira à former successixement l(;s produits 



// 



n 



1=1 



, - ± ) = g;,") -+- cv" --...+ c'„'"^" (G';' = I). 



En effet, chacun de ces produits correspond à un des systèmes 
réduits, de sorte que ce sj^stème sera satisfait par Q," , ...,C^"'. Or, 
on sait que ce procédé ne converge que si les la^j croissent assez 
rapidement. Ainsi, nos équations peuvent être résolues en 
tout cas; mais le principe des réduites n 'y s^ applique cjue sous 
des conditions très restrictives. 

La méthode de Wcierstrass consiste à ajouter aux produits ci- 
dessus des facteurs exponentiels accélérant la convergence. Je 
veux bien espérer que, un jour, on généralisera cette méthode de 
sorte à perfectionner le principe des réduiles. Jusqu'aujourd'hui, 
on ne l'a pas encore essayé. 

FURSTENAU, KOTTKRITZSCII. 

10. Bien que la lliéorie analyti(jue de Fourier soit toujours 
restée la source" de nombreuses recherches, les parties (]uc nous 
venons de rappeler sont prescjue entièrement tombées en oubli, 
l'endant plus d un demi-siècle, les auteurs qui s'occupaient de notre 
sujet y furent conduits intlépcndamment de Fourier et aussi sans 
faire allusion l'un à l'autre. Ce n'esttpie dans un Mémoire de G. Piola 



LES COMMENCEMENTS DE I.A THÉORIE. 9 

(|uc l'on Iroiive citées les recherches de Fourier; cet auleiir appli- 
quait le même principe des réduites à vni problème particulier ('). 
Les deux auteurs, E. Fiirstenau et Th. Kotteritzsch, qui suivent 
dans l'ordre historique, sont sans importance pour le développe- 
ment de la théorie. Toutefois, on trouve dans leurs travaux des 
méthodes plutôt en i;erme qui, retrouvées et rendues rigoureuses 
ces dernières années, se montraient l)ien fécondes pour la liiéoiie 
en vue. 

11, Fiirstenau s'occupe du problème suivant : 
Etant donnée l équation 

(9) Co-hc,.r ^. . .-i- c,„a"'« = o (coT^o), 

calculer celle des racines qui est la plus petite en valeur abso- 
lue {j-). A cet efiet, il multiplie l'équation successivement par des 
puissances de plus en plus élevées de x^ et il remplace x'^ par Xn\ 
ce procédé l'amène au système infini 



— Co = Cl a-i -+- C, X-i -t- . 


• ~1~ (^ m -^ iiii 


= C(iXx'\- CxXi^. 


• ~^ C/ii — i X m -|- C „, X „i-L-\ , 


= Coa-o-t-. 


• -t- C„i—^X iii-'r- Ciii — V^ in + \ +" C/n^ in+ij 



Pour en tirer l'expression de Xx, il applique le principe des 

réduites. Il obtient 

(10) :?:i = — Colim— — > 

OÙ A„ est le déterminant formé des coefficients dea;-,, ..., x,i dans 
les n premières équations. 

Dans le cas où il n'y a qu'une seule racine, qui est la plus petite 
en valeur absolue, et que celle racine est simple, elle sera fournie 
par l'expression (lo). (a' résultat se trouve démontré dans le 

(') TiOLA, Sulla teoria dette f on ziord disconlinue {Memoried. Soc. italiona 
d. Scienze, t. XX, p. r)73-639). Nous citons ce Mémoire d'après l'indication de 
M. G. Loria {Suppt. ai Jiendiconti, Palermo, 1907, p. 34). 

(-) Fl'rstknau, Darstellung der reellen Wurzetn olgebraiscfier Gteictiun- 
gen durc/i Determinanten der Coefflzienten, ProgranimaJjliandlung, Marijuii;, 
iSfio; Neue Melliode zur Darstellung und Bereclinung der imaginciren Wur- 
zetn al gebraisclier Gleicliungendurcli Determinanten der Coeffizienten, Progr- 
ahli., Marburg, iSfi^. 



CIIAPITRK I. 



Mémoire de Fiirstenaii (riiiu- fiiçou loiit à fait rigoureuse, mais par 
un calcul assez laborieux. D'ailleuis, d'après une remarque de 
H, Naegelshacli. tout ra'ic/it à ce que /a fonction 

[\(x) = 



Co -h Cl .r 4- , . . -+- c„, x"^ 
admet le dé^'eloppement en série entière 

\\(^x) = — — ^x^~x-i—^x-*^... (I). 



En eflet, soit 7. la racine doiil il s'agit, et soit A le résidu de R(.ï^) 
par rapport à a. Les pôles de la fraction rationnelle 

r{x) = K{x) ^ 



étant plus éloignés de l'origine cpic le point a, la série 

, , I , /A, A\ /A, A^ 

/•(:r) = A - 

converge, pour j? = a; en particulier, ses termes tendent vers zéro 
et, par consé([uent, 

fl en résulte que 

A„_,(-a)»-i 



Co 



A„ A„(— a)« 



La méthode de Fiirstenau s'étend immédiatement à des écpia- 
tions transcendantes. 

Observons encore que si Ton écrit, pour abréger, 

R ( .r ) = «0 + a 1 a? + a j .7-2 H- ... . 



( ' ) N.vKGKLsiiACii, Studien zu Ftirsfenaiis iieuer Metliode der Darstellung ii/id 
Hercclinung der Wurzeln algebraisclier Gleic/iungen durc/i Determinanlen 
der Coeffïzienlcn {Arcinv f. Mulh. u. J'/iys.. l. I,I\, iS-c, p. l'i-j-iga). 



LKS rOMMEXCE.MEMS DE LA TIIEORIK. II 

notre résullal dcvieiiL 

,. '''«-1 

n = se Clfi 

C'est un résultai (Mcineutaire et bien connu qui porte sur le déve- 
loppement en série entière de toute fonction admettant un pôle 
simple a et dont les autres points singuliers sont plus éloignés de 
l'origine ('). Ce résultat fut généralisé par M. Hadamard, qui se 
proposait de déterminer plusieurs pôles à la fois (-). D'autre part, 
Fùrstenau Ini-mèmc a étendu sa méthode au cas de racines mul- 
tiples, et aussi au caleid simultané de plusieurs racines. Il y aurait 
un certain intérêt à comparer ses calculs à ceux de M. Hadamard. 

l!2. Dans tout ce qui précède, il ne s'agissait que des systèmes 
particuliers. Kotterltzseh envisage du premier coup le système 
général 

00 

(il) ^^<:iikX/, = T-i (i = i,a, ...), 

/. = i 

en ne lui imposant que des conditions peu restrictives (■'). 

Pour le résoudre, il le réduit d'abord à la forme plus particu- 
lière 

^^ , ^22^2-1- 623-Ï-3 + .. •= £2, 



Cette réduction se fait par un calcul tout élémentaire. En ettet, 
supposons que les mineurs diagonaux 

I «//,■ Il = «II- I «//, I2 = «Il«22— «12«21, 

ne s annulent pas; alors, jjour obtenir le système correspon- 

(') FvôMG, Ueber eine Eiffensc/iafi der Potenzreihen [Math. Annalen, 

t. XXIII, i884, p. 4'.7-4i9)- 

(-) Hadamard, Sur la recherche des discontinuités polaires {Comptes rendus^ 
8 avril 18S9). Voir aussi Hadamard, La série de Taylor et son prolongement 
analytique, p. 38-/(3. Cf. encore le Mémoire peu connu : Worpitzky , Beitràge 
zur Functionentheorie: Progr.-\bli.. Berlin, 1870, dont je viens d'apprendre 
l'exislence pendant les dernières correclions. 

(•*) IvôTiERiTzscH, Ueber die Aujlosung eines Systems von unetullick vielen 
linearen Gleichungen {Zeitschr. f. Matk. a. Phjs., l. XV, 1870, p. i-i5, 
229-268). 



12 CIIAIMTRE I. 

danl (12), un n'aura qu'à |>os(r A,/,= a, h, ji = «i- el pour n >> i 

«1.1 "1,2 ••• «l./("l «1,A 



bnJ.= 



(in = 



«//.l «ri, 2 
«1,1 «1,2 

«ni «« •> 



• «//,«-! «/i,A- 
«l./i-l ^1 



Cela fait, il reste à résoudre le système (12). Supposons qu'il 
s'agisse d'évaluer l'inconnue x„. Alors les n — i premières équa- 
tions n'entreront pas dans le calcul; de celles cpii restent, on 
éliminera successivement .r„^, , x„^->, .... Ce procédé fournil un 
déveloj)j)emcnt de x,i de la forme 

où les 13 sont des expressions formées des coefficients b,h, qui se 
calculent facilement par des déterminants. 

Or, on se rend aisément compte de ce que la méthode de Rolte- 
ritzsch est au fond la même ([ue celle de Fourier; elle n'en diffère 
Cju'en ce qu'elle comporte un procédé de calcul formel qui |)Ourra 
être commode dans certains cas. Mais, au point de vue de 1 infini, 
les deux méthodes ne diffèrent pas. Quant à ce point de vue, 
Kotteritzsch ne nous apprend rien de nouveau; il se contente de 
dire que, pour les indices grands, les termes doivent être très 
petits, de sorte qu'on puisse les négliger. 

Enfin, Kotteritzsch applique sa méthode à |)lusieurs cas particu- 
liers et y étend des formules connues pour les systèmes finis. 
Cependant, ici aussi, presque tout est fondé sur l'analogie ('). 

I,.V NOTK DE M. APPIÎLL ET LA CIUTIQl E DE IHtINCAKÉ. 

13. C'est à Poincaré tpie revient le mérite d'axoir fail, sur noire 
sujet, les premières recherches critiques. Son attention y fut 
appelée par les travaux de MM. Hill (1877) et Appell (i885 ). 
Nous rc\iendrons |)lus loin à la méthode de M. Hill. 



(') Il y a lieu ici de menlioniier un travail de .M. von Koch qui piiraîtra dans 
les Comptes rendus du Congrès intern. de Cambridge, if)i2. M. von Koch 
y étudie les systèmes du type (12) sous des conditions très larges. .le nie iiorne 



LES COMMKNCKMIÎNTS l)K l.A TlIliOlUI".. l3 

iM. V|)|)cll se propose de développer la fonction elliptique -r 

en série trigonométriqae par la méthode des coefficients indé- 
terminés ('). D'après les notations de Jacobi, on a 



^(^)"' 2 (-0"'y"'e"^, o,(^^^= 2 r'^"^ </ 






les périodes 2K et 2/ Jv' sont rangées de sorte que la |)arlie réelle 

K' 

du rapport -r- devienne positive, et que, par conséquent, [ ly | -< i • 

Il s'agit de calculer les coefficients :\„ du développement 

On chasse le dénominateur, puis on elTectue le ])roduit dans 
le second membre et l'on égale les coefficients de e"-^, et cela pour 
tous les n. On obtient 

a = — 00 

d'où, en simplifiant, 



à indiquer un résultat particulier lequel est lié entre autres au problème traité 
par Fiirstenau. Soit f {z) = i ^ c^z -h c„z^--\-. . . une fonction enlirrè et soit a 
celle des racines qui est la plus proche à l'oris^ine. De plus, soit x^, x^, ... 
une solution du système 

o = a7„-f- c^x^-\- c..x.,-^ c^Xn^-i-. . . 

0= x^-\- c^x,,-\- c^x^-^ C^Xi + . . . 

.Alors on a 



lini sup. I J7„ |«>1 a |. 

n— ta 

Voir aussi la Thèse de M. Burel dont nous parlerons plus loin, et Stackkl, 
Periodische Funktionen und Système von unendlicli vielen linearen Gleicliun- 
gen {Festschrift H. Weber, 1913, p. 396-409). 

(') Appell, Sur une méthode élémentaire pour obtenir les dé\-eloppements 
en séries trigonométriques des fonctions elliptiques {Bull. Soc. math, de 
France, t. XIII, i<SiS5, p. i3-i><). 



i4 cnAprrnf i. 

Or, le rapport des fondions impaires 0, et donnant une fonc- 
tion paire, on a A_|jl:= A^.; par conséquent, notre svslènie se 
léiluii nii suivant : 



ou enfin, en posant 
le système devient 



■>T.\\i 



(— I )" = A -^ -i ^ (— I j"- fj'-'- A u. cos n ;i 
11 = 1 



(« = o, I , ■), . . 



Pour résoudre ce système, M. Appell se sert du principe des 
réduites; il prend les m -{- i premières équations, n'y conserve 
que les /« + i premières inconnues et supprime tous les termes 
((III dépendent des autres inconnues ; enfin il f.iit croître //< indé- 
linimeut. Soit V"'\ A','"', ..., A',,'"* la solution du système réduit; 
on a 

A(7:, o), -20), . . . . m i» ) 



A''") 



et, |)Our a >> o, 



A(o, w, -2(0. . . . , niio ) 



( ,,a^u'^ vî'" _ A[o, (o, . ■ .,( ja— i)tu, r, (,a-hi)o-» wojJ 

A((), to, -^o), .... iniM ) 



A(a, h, ..., 0- 



COSrt cos^ 

cos ma cosnib 



eus/ 



cl I (cosrt — cos6). 



C est une constante numérique, et le |)rodiiit est étendu à toutes 
les dilTérences des (piantités cosrt, cos^, ..., cos/, prises deux 
à deux. De là, en introduisant de nouveau, au lieu de to, la quan- 
tité q. on ol)tient 



A'"" = 



m 



(1 -</=v^2 



■Jtc/l'- 



|"|(, + ,y2V)2 






Ij;S (.OMMF.NCKMKNTS DIC I. \ TIIKOIUR. 13 

Enfin, en faisaut croître indt'-liiiiiiieiiL 1 ludiee /«, il ié>iille 

_ r T "-^y-'^v- _ - 1 Aï" V _ "J'- K 

v = 1 

On ohlient ainsi le (Jé\ elopjjenicnl connu 

0,(5) -^ , f^ i , V 9^^ î^-- 

\ 1J.=1 

14. Dans le même Bulletin où paraissait la Note de M. Appel 
dont nous venons de parler et immédiatement après celle-ci, se 
trouvent les premières remarques critiques de Poincaré ('). Il se 
demande dans quel cas on peut légitimement employer la méthode 
qui a réussi à M. Appell? C'est-à-dire qu'il examine, dans certains 
cas, La légitimité dupiincipe des réduites. 

11 envisage d'ahord le système 

(i3) ^a/,.r/..= o (i = o, I, 2, . . .), 

k=\ 

en supposant que | «/;_|.| [ > | «a |, eL que | «a 1 -^y:^ pour k ^-cc, et 
il cherche à y satisfaire de sorte que les séries (|ui figurent dans 
les premiers membres soient convergentes. 

Sa métliode repose entièrement sur les éléments de la Théorie 
de fonctions. 

Formons la fonction entière F(ô) ayant pour zéros simples les 
nombres a/,^ et ne s'annulant pas ailleurs. On sait depuis Weier- 
trass que, sous l'hypothèse | a/,|->co, de telles fonctions existent 
et se calculent moyennant des produits infinis. Pour fixer les 
idées, supposons que ^j r converge; alors on |)0sera 

•'<^> = ll(-i)- 

Soient (],, Co, ..., C/f, ... une inliiiitc de cercles avant |)()tir 
centre l'origine, et tels que le cercle C/f sépare les points z=(//< 

(') PoiSCARV:, ./iemarrjues sti/- /'emploi de la méthode précédente (Bull. 
Soc. math, de France, t. \III, i88,), p. 19-27). 



l6 CllAI'nRE i. 

et ^ = «A+i • Supposons cjne 



{\/^) I — — >o pour/.->3c, 



et cela <|iirl <|iie soil /. ( )r, d'après Caucliy, la relation j>rt''cé- 
dente peut s'écrire 

OÙ Ton \ient de dcsif;ner. par Aa. le résidu de ,, pour ; = (1^. 

Vav consé(|uent, sous riiviiothèse faite, les résidus de -p lour- 

niront la solution du système (i3). Or on a 



«1 / \ «A-l/ \ ('/,+ 

et c'est à la même solution (]ue conduirait le principe des 
réduites. 

lo. Le système (4) de Fourier entre en principe dans le type 
envisagé. En elTet, en y laissant à part la première équation, et en 
posant (2 m — i )-= b,„, [2/11 — \)-(f„,= .r,„, le système s'écrira 

7. à'„,.r,n=^ o ( J = o, I, 2, . . .), 



et les bm croissent indéfiniment. 
Calculons la fonction F (r). On a 



■"-=ri['-r77;7^] 



— COS - \ 



Les résidus de ^ sont 



'î\ll>, 



H//, = TT-^. = =± '-^^im~ \). 

V I b„t ) . - - — 4 

SU) — \ b „i 

Donc ils représentent, à un facteur près, la solution de Fourier. 



LES COMMENCKMENTS DE LA THÉORIE. I7 

Ce|iendant ce nV'st pas une solution telle (jiie l'exigeait Poincai-é; 
les séries ^ />',j !>,„ ne convergent pas. Cet exemple montre très 
nettement que l'hypothèse (i4) ne peut pas être supprimée. 

IG. ^ oilà maintenant une remarque fort intéressante de Poin- 
caré: au premier coup d'œil, elle aura l'air d'être paradoxale. 
Supposons qu'on ait trouvé une solution ^, = a,, x.,=z a..,, ... du 
système (i3); et supposons encore que les y./, ne s'annulent [)as. 
Soit /j un entier positif (juelconque ; il est évident que les j;, = «Ca,, 
x.2^= a^y.2i ••• satisfont aussi au système (i)). Il en sera de 
même pour .r, =/(«,) a,, .r2=/(<22) ^-2, •••, f{z) désignant un 
polynôme quelconque. C'est juste. Envisageons maintenant, au 
lieu des polynômes, la fonction entière 

/(-) = Co-4- Ci5 -I- 0,^2— .... 

Multiplions les éfjuations (i3), en partant de la (/H-i)''""\ suc- 
cessivement par Co, C), C2, ..., et ajoutons terme à terme : il 
viendra 

(i5; ^ a';, fi a,,)%i, = ({■ = o, I, ■->, . . .). 

Voici donc le fait paradoxal rjui suit immédiatement de ce 
raisonnement ; Si le raisonnement était exact, toute suite arbi- 
traire [i|, ^2, ... satisferait au système (i3). En efiet, on peut 
choisir la fonction entière /{:•) de sorte qu'elle prenne, pour 

• . I 3i 3-' 3-. 

^ = «1, «.,, Usj .... respecliNcment les valeurs —, —> — > •••• 

«1 a2 a.-j 

Pour avoir une telle fonction, soit F(^) la fonction entière déjà 
considérée, s'annulant pour :; = «,, a.,, .... et n'ayant pas d'autres 
zéros. D'autre part, d'après le théorème de M. Mittag-Lefller, 
on peut construire une fonction méromorphe R(-:^) qui ait les «/, 
pour infinis simples avec les résidus — —- , et n'ayant pas 

d'autres infinis. Donc, en posant /(:;)= F (^) R(5), on aura l;i 
fonction entière exigée. Appliquées à celte fonction / («), les 
formules (i5) donnent 

2«a-3a= o (/ = o, I, -i, ...). 



lo (IIAPITIU. I. 

Si le raisoanemeiit clail logiiimc, ces cquatioiis devraient avoir 
lieu pour tout choix des (juauliu'-s 3/;. Il ue Test j)as évidemment, 
car il n'est pas permis, en i^V-néral, d'ajouter ternie à terme une 
infini té de séries. 

Pour lendie le i;ii>i)iinrmrn( exact, faisons llnpollicsc (Uie, 

pour la solution ^, = a,, .i.,= y.. les premiers membres 

des équations (i3) soient des séries absolument convergentes. 
Posons 

Zj I «/.■ X/.- I = S, ( i = O, 1 , 2, . . . ). 

Cela posé, il est manifeste que toujouis, ipiand la série 

IcojSo-l- |ci jSi-h I C2IS0-H. . . 

converge, notre raisonnement devient exact, Faddilion terme à 
terme étant permise. Or, la fonction f{z) ne dépendant que des 
quantités «a, a^, ^a, les coefficients C/( sexprimeronl, dune cer- 
taine façon, par ces mêmes (juantités. Par conséquent, tout revient 
à ce qu'une certaine série, dont les termes sont des fonctions bien 
déterminées des «a, a^ et des \j/,. con\erge. Quand la série con- 
verge, les ''^/f donnent une solution du système (i3). Donc nous 
venons de rattacher le problème de la résolution du système (i3), 
dans une certaine mesuie, à une simple question de convergence. 

17. Les équations traitées par M. Appell ne rentrent ])as dans 
le type considéré, mais dans le suivant 

^ o',,.r/, = o (/= o. I, 2, . ..), 

où les quantités \oh\ tendent en (-roissant \ers ce ])our A—^x, et 

tendent en décroissant \ers o pour k—^ oc. Pour traiter ce tvpCj 

Poincaré se sert d'une méthode analogue à celle du n" li; la difTé- 
rencc principale consiste en ce que la fonction F(:;) admettant 
les a/i pour zéros ne sera |)lus une fonction entière; en efl'et. l'ori- 
gine étant jxiinl limite des (i/^, elle sera nécessairement un |)()int 
singulier essentiel. 

L'étude détaillée de la JNote de Poincaré et des remarques com- 



I.ES COMMENCEMENTS DE LA THÉORIE. 19 

picineiitaires dont il la faisait suivre dans une seconde Note ('), 
exigerait de pénétrer encore plus loin dans la Théorie des fonc- 
tions. D'ailleurs, il n'y s'agit pas des méthodes proprement dites ; ce 
sont plutôt des idées qui attendent encore d'être développées (-). 



(') PoixcAHÉ, Sur les déteiminants d'ordre in/ini ( liull. Soc. math, de 
France, l. XIV, 1886, p. 77-90). 

(-) I^e seul progrès dans celte direction est dû à .M. lioi-el. Il y fut conduit 
par le problème suivant traité dans sa Thèse [Sur quelques points de la Théorie 
des fonctions {Annales de l'École Norni. sup., 3" série, t. XII, iSgS, p. 9-55)] : 

Déterminer une série entière /{:■] = t b,,:" ronveriienlc j)Our z =1 ainsi 
que ses dérivées, les valeurs _/^")(i) = F„ de la série et de ses dérivées étant 
données pour z = i. Voilà l'idée essentielle du raisonnement de M. JJorel. Pour 
résoudre (es équations /'"'(i) = ^ n' '' ^^^ffit de savoir les résoudre avec une 
certaine approximation. Supposons en effet que l'on ait trouvé une série entière 

^(:;)=\ ô^^c" telle que | ^'"'(i) — F,^ | <C pour tous les n. Posons 

o'("'(i) — F^^=c„; la série X, ~ï ( -' — ')" définit une fonction entière /( ( ;; ) et 
l'on aura / (^) = o' ( - ) — h{z). Donc tout revient à résoudre les équations 
yv") (i) rr F„ avec l'approximation indiquée. Posons 6„ = o, bf. — ±- pour 
/.■ = I, 2, . .., n. en choisissant les signes et l'indice n de sorte que 
I ^1 -I- ... H- 6„ — Fj 1 < I. Posons de plus 6j. —-±— pour A- =: /! -f- 1, . . ., n', en 
choisissant les signes et l'indice n' de sorte que | 6,-)- 26,+ • • • + "'^« — ^i I <^ '• 
Puis on posera bj. = ±— pour A" = n' + 1, ..., n" , de sorte que 

1 2 6. + 2. 3 63 -f- ... + [n" — i) n" bl— F, | <i. 

Continué, ce procédé conduira à une fonction g ( :; ) Icllc que ] ^("' (i) — f„ 1 < 3. 
On s'en rend aisément compte; tout revient èi ce que la série > - diverge et 

que, d'autre part, X, T^ <2. Observons encore que le raisonnement sujjpose que 

les données F„ soient réelles, mais on voit aisément que celte li3polhèse n'est 
pas essentielle. 
M. Borcl applique un procédé analogue aux systèmes 



y] «'/f^A= ^i («■='. 2, ...), 



où «;. augmente indéliniment avec /.. Ce procédé consiste à poser, suivant les 

indices, 37,. = d= -, ±- — , ±1- — :,, •••, el cela de sorte que les quantités 
A* "'^jt l\ a t. 

H^=: A, — 7 ^'/■■^k l'c'Stenl bornées dans leur ensemble. Donc on peut ramener le 
cas général au cas particulier où les quantités A, sont bornées. 

Dans ce cas particulier, M. Borel résout le système en modifiant légèrement 
l'idée de Poincaré exposée dans le n" li. Suit F(c) une fonction admettant pour 



CHAPITRE I. 



LES COMMENCEMENTS DE LA THEORIE. 



Mais ce que jai dit s'applique seulement à la première Note et 
à la première partie de la seconde. Dans la seconde partie, en 
quittant brusquement Tordre d'idées suivi, Poincaré pose les pre- 
miers fondements d'une théorie des déterminants inlinis qui fera 
le sujet du Chapitre sui\ant. 



zéros simples les quanlilés a^ et clioisissoiis les quantités Oj de suite que les 
séries > 



«A- 



F'(aJ6, 



converj;eiit. Cela étant, construisons une fonction entière 

G (;;) telle que b (a^) = Oj. En posant — ^ — = > c,/'"' z", une solution sera 

fournie par les formules 



— a,. 






CHAPITRE II. 

LES DÉTERMINANTS INFINIS. 



HISTORtQUE ET GENKR.VLITKS. 



18. L evlension des mélliodes algébriques aux systèmes d'équa- 
tions linéaires à une infinité d inconnues conduisait naturellement 
à la considéi'ation des déterminants infinis. Des allusions à ces 
algorithmes se trouvent déjà dans le travail cité de Kotteritzsch. 
Généralement on attribue leur introduction à M. G. ^^ . Hill. Ce 
savant astronome s'en est ser^i dans un Mémoire fort important 
sur le mouvement du périgée de la Lune ( ' ), et c'est par ce Mémoire 
que l'attention de Poincaré fut attirée sur ce point. M. Hill 
envisage l'équation 

dUv 

(1) -^ + 0.v = o, 

où est une série de la forme suivante : 

Kn posant 0_,^= 0„, on |)eut aussi écrire 

(2) 0=ye„e''". 



( ' ) HiLi., On Ihe part of the motion of the lunar périgée wicli is a function 
of the niean motions of the sun and moon. Cambridge, Mass., U. S. A., 1877, 
(réimprimé dans les Acta mathematica. t. VIII, 1S86, p. 1). Cf. aussi la com- 
municalioa de M. Adams dans les l.ondon Astr. Soc. Monthly Not., t. WWlll, 
1877, p. 1.5; il y annonce que l'élude du mouvement du nœud de la Lune l'a déjà 
conduit antérieurement à un déterminant infini, maiâ il ne publiait pas ses 
résultais. 



CHAPITRE II. 



Lintégrale générale de léqualion (i) peut être mise sous la 
forme 

les b,t et celant des constantes convenablement clioisies. En por- 
tant cette série au lieu de iv et la série (2) au lieu de 9 dans 
l'équation (1), et en com|)aranl les coefficienls, on obtiendra les 
équations, en nombre infini. 

H) ^ 0„--/,6/,— (« -4-c)2 6„= O (« =— =C, . . ., -i-îc), 

et Ton aura à déterminer les b,i et c de sorte que ces é(juations 
soient satisfaites. 

M. flill traite le système (3) par le procédé dont on se sert le 
plus souvent pour les systèmes finis, savoir par des déterminants. 
Il introduit des déterminants infinis, il y applique les règles ordi- 
naires du calcul des déterminants, et sa hardiesse est justifiée 
par le succès, les résultats étant d'accord avec l'observation. Mais 
il n'a pas démontré la légitimité de sa méthode. Cette lacune fut 
bientôt comblée [)ar Poincaré qui développa à celle occasion les 
|)remiers principes d'une théorie des déterminants infinis ('). Les 
recherches de Poincaré furent continuées jusqu'à ces derniers 
temps et approfondies beaucoup par M. von Koch à qui l'on doit, 
pour ainsi dire, presque tous les résultats essentiels de la théorie (-). 

19. Considérons le sysiètne 

(4) ^ff(^^A=C,- (j = l, ■>, .. .), 

(') Voir la Note citée au n" 17, on aussi r(»uvrage du même auteur : Metliodes 
nouvelles de la Mécanique céleste^ t. 11, p. 2(Jo. 

(^) Pour la liste des travaux de M. von Koch, concernant les déterminants 
infinis, cf. son rapport : Sur tes systèmes d'une infinité d'équations linéaires à 
une infinité d'inconnues ( Compte rendu du Congrès des Matliématiciens, tenu 
à Stocfc/iolni, 1909). Ajoutons à cette liste les deux Notes : Sur un nouveau critère 
de convergence pour les déterminants infinis {Ar/iiv for mateniatik, astronomi 
ocli fysili, t. VII, 1911, n°4); Sur certains systèmes d'équations linéaires à une 
infinité d'inconnus (mèmeAr/dv, t. MU, 1912, n" !)), et la Communication signalée 
au n" 12. 



LES DÉTERMINANTS INFINIS. 23 

et supposons cpie l'on puisse v appliquer légitimeincnl le principe 
des réduites. Supposons de plus que, pour n suffisamment jj;rand, 
on ait 

«11 
A„ = 



Cela posé, l'inconnue Xk sera fournie par 

Il m j 



le symbole A,f ' désignant ce que devient A,< lorsqu'on y remplace 

par c,, Cu les termes de la colonne k. Or il peut arriver 

f[ue le dénominateur A„ hii-mème tende, pour // infini, vers une 
limite A; et si encore cette limite ^ o, on pourra affirmer cjue le 
numérateur tend aussi vers une limite A"*^ et que 



OTk 



A 



Cependant, ceci n'est (|ue le cas le plus simple; le système (3), 
étant homogène, n'y entre pas; il exigera une discussion plus 
délicate. Pour l'aborder par des déterminants infinis, il faudra 
étudier ces déterminants d'un pjeu plus près . Et il convient aussi 
d'observer cjue même dans le cas plus sim|)le que nous venons de 
considérer, nous avons supposé, a priori^ que le principe des 
réduites s'applique. On sait que ce fait n'est pas évident; que, 
de plus, il peut être en défaut; et même les limites A^o et 

A''^^ (/,=!, 2, ...) peuvent exister sans que les valeurs j:a= — r- 

satisfassentau système (4). Parexemple, lorsque rt//;:=o pour Â</ 
et I pour k'^i et c,= ( — i)', on a A =i: i , A''' == 2(— i)'', ce qui 
donnera .2;^= 2 ( — i)^; en portant ces valeurs dans les équa- 
tions (4), les premiers membres divergent (' ). 

Ces remarcjues suffisent pour montrer que, si l'on veut baser 



('; .M. CazzHiiitia a duiiiic une série dexeiiiples de ce ^eiire, montrant tous 
quel soin il faut apporter aux déterminants infinis : Sui delerminanti d'ordine 
infinito {Annali di .)fatemalica, 2' série, t. XXVI. 1897, P- i'i3-2iH); Jntorno ad 
un tipo di determinanti nulli d'ordine infinito (même recueil, 3' série, t. I, 189S, 
p. 83-94). 



CIIAPITRC H. 



une tlicolic des svslèmes infinis d équations à l'élude des déler- 
ininanls infinis, il faudra d'abord préciser nellement les conditions 
où l'on se pose. Des hypothèses bien choisies permettront à'étendre 
aux déterminants infinis les règles ordinaires portant sur les 
déterminants d'ordre fini et, par suite, de les appliquer à l:i 
théorie (|iii nous occupe. 

Sans doule. cerliiines des règles les plus simples sélendenl 
immédiatement ;i tous les déterminants infinis. Par exemple : on 
peut échanger entre elles les lignes et les colonnes ; échanger deux 
lignes entre elles revient à multiplier le déterminant par — i; 
multiplier tous les éléments d'une ligne par le méine nomijre 
revient à multiplier parce nombie le déterminant lui-même; le 
délern)inanl s'annule si deux de ses lignes se confondent; il ne 
change pas Iors(|u on ajoute aux éléments d'une ligne les éléments 
correspondants d une autre, etc. Tout cela découle immédiatement 
des proj)riélés analogues des déterminants d ordre fini. 



LES DETI.UMI.NAMS NORMALX. 

20. Envisageons le tableau à double entrée 

I-Hrtii, «12, «13, 

«il, l-r-«22. «23, 

«.il, a. il, I — «33, •• 



et supposons que la série deux fuis' infinie N | ''//a | converge. 
Posons A/i^^ ^ I ^^'A I ; d'après l'hvpothèse faite, ^ A/; converge. 

/ = 1 X — 1 

On en conclut, en appliquant une règle de convergence bien con- 
nue, que les produits 

n 

ll«=JQri-4-A/,) 

h = 1 

tendent aussi, jiour n infini. \ers une limite FI. 



LES DETERMINANTS IXFIMS. 

Comporons mainlenant les deux détcrniinanls 
I -H «■/ 1 1 On ... a 1 „ 



A„ = 



^n-i-p — 



««1 
l -r-a 



12 



''(-(-/', 1 



Ce sont des sommes de cerlaiiis produits des (jiianlilés «/a atlec- 
lés des signes convenables. Les mêmes produits figurent aussi, en 
valeur absolue, dans les développemenis de ÏI,^, Tl„^p suivant 
les|rt//(|. De plus, ^,/+p contient tous les termes de A„, et les 
aiilres termes de ^n+p figurent, en valeur absolue, dans le déve- 
lo|)j)cment de n„^.^ — n„. On en conclut 

I A„ 1 1 II„ ; I ^n^!, — A„ j _ ll„+/, - II„ ; 
par conséquent, la série 

A,--('A2— Ai)^(A3- A.,j-i-... 

converge absolument vers une quantilé A = limA„ lelle que 

|A|<n. 

21. Remplaçons dans notre tableau les éléments de la colonne 
numérotée 1c |)ar des t|uantités c,: nous suj)posons que ces quan- 
tités soient bornées dans leur ensemjjle, c'est-à-dire qu elles restent, 
en valeur absolue, inférieures à une certaine quantité C. Soit n > k 
et désignons par A,*' ce que devient A„ après la modification indi- 
quée, et par W'^jl' ce que devient II,, lorsqu'on y supprime le fac- 
teur 1 -f- Aa. Les termes de A,^''' et de A^^^^^ — Aj*^ figurent aussi, eu 
valeur absolue et sauf un facteur |c/|,dans les développemenis 
de rî;f' et de n^f;}^— n;f . On en conclut 

I A^;^^ I = Cil/ , 1 \Lp-^I' I = Cl ii;/^!„- ni;t> >. 
Par conséquent, le déterminant A^''^ = lim A,,*^' converge et 

|A(^)|<cn. 

Posons en particulier c,= i et Cy z= o pour jyél\ le détermi- 



nant A)[^^ deviendra ce que l'on ap|)elle le mineur î j du détermi 



26 CHAPITRE II. 

nant A,;. De moine, nous appellerons A'^Ue mineur I j de A. Il suit 

immédialemenl du l'ail analoj^ue coneernanl les délerminanls 

d'ordre fini, que le mineur ( 1 ne change pas de valeur quand on 

y remplace par des zéros ou par des quanlih's quelconques les 
élémenls de la ligne numérotée i\ sauf le /.■''"*. Celle remarque 
montre (|ue, dans la formation des mineurs, lignes et colonnes 
jouent le même rôle. 

Nous allons démontrer le lliéorème suivant dont la première 
partie corres|)ond à la régie bien connue de Laplace : 

Que/les (/ne soient les quantités Ci bornées dans leur 
ensemble, on a 

(5) .:«=2(; 



et la série à droite converge absolument. 
En particulier, la série 



(6) 



/. 



converge et sa valeur limite ne surpasse pas II. 

La convergence absolue d(; la série au second membre de (5) 
découle immédiatement de la convergence de la série (6). 
Cette série se composant des termes positifs, il snflit de prouver 
que ses sommes partielles ne surpassent pas une certaine borne 
finie. .le dis qu'elles ne surpassent pas la borne FI. En effet posons, 

dans A^^\ C/= signe! ) pour i'^n, c/ = o pour i^/i ('). Cela 



posé, on a C = I, et A^*' est la somme des n premiers termes de 
la série (6) ; donc, en vertu de l'inégalité ] A'*' [ ^ Cfl, cette somme 
ne peut pas surpasser la valeur Fi. 

11 nous reste encore à vérifier lidcnlité (5). La somme s,i des 



(') Ici el (liiiis lii suite, la noUilion ;^lgllec iiidiinn' o. (jiiand ; = o cl 



clans 



les autres cas. Dans ces cas, en posant - = re'r. siî;ne z devient e^'f. Pour : réel, 
positif ou négatif, signes =— i, suivant le signe de z. 



LKS UÉTERJUNANTS INFINIS. 97 

n premiers ternies de la série à droite est ce que devient A'^ lorsqu'on 
y remplace par des zéros les c,, à partir tie c,,^,. l'ar suite, la dif- 
férence A'*' — Sn est égaie à ce que devient A^'^ après avoir annulé 
les n premiers c. Désignons ce dernier déterminant par A'^^'"^ et 
soit A**'"' le déterminant fini formé de ses n- premiers éléments. 
On a 

|A^A-,«)_A^/..«;|IC(n-n„). 

D'autre part, lorsque /i^Â, le déterminant A|f'" s'annule, parce 
([uil contient toute une colonne de zéros; par suite, notre iné- 
galité devient 

|AtA-'-*„I = iA>/'-.")|^C(n-n„). 

Mais pour n infini, Il — n,/-^o, et alors 5„— >A^*^, ce qu'il 
fallait prouver. 

Indiquons encore les cas particuliers de (5) : 

(7) i\ +^aij ( ^. ) = ^ suivant que k^j. 

i = I 

Enfin, de la convergence de la série (6) résulte immédiatement 
la convergence alisolue de la série double 



m 2 



«yA C/ 



Dans tout ce qui précède, lignes et colonnes peuvent échanger 
leurs rôles. Entre autres, on a 



(9) Q^ÏmD^I 



selon que i ~ j- 



2!2. On appelle déterminants normaux les déterminants 
infinis A du tjpe considéré. Quant à l'historique, remarquons 
que Poincaré étudiait les déterminants A et A^^^ en posant 
encore une condition restrictive, savoir (|ue«,<= o pour tous les /. 
Il est à peu près évident (jue le tvpe considéré se réduit aisément à ce 
Ijpe plus |)articulicr. Par exemple, lorsque les r/,/ ^ — 1, on n aura 
qu'à diviser les colonnes i par 1 +«//. Mais on n'a pas besoin de 
faire une telle réduction; M. von K.och a observé que la méthode de 



2S chapitrf: ii. 

Poincaré, peu lnodilic«^ sétend à Ions les délernunanls normaux; 
et c'est précisément celte inéliiode f|iie nous venons d'exposer. 

Ajoutons que les considérations précédentes et aussi celles qui 
suivent s'étendent immédiatement aux déterminants infinis dans 
(jiiatrc directions^ cest-à-dirc aux déterminants qui correspondent 
à des tableaux tels (pie h:s indices /, / \arient en allant de — 'x. 
à -f- GO. Dans ce cas, on entendra par déterminant infini la limite, 
potir w — > — oc. /? — V -f- 00, du déterminant d'ordre liiii où les 
indices \ ont de m à //.Le système (3) de M. llill conduit à de tels 
déterminants. 



APPLICATION DES DETEHMIXANTS NORMAUX AUX SVSTEMES D EQUATIONS. 
LES MINEURS d'orDRE SUPÉRIEUR ET LE THÉORÈME DE M. VON KOCH. 

23. Apres ces préliminaires nous considérons le système d'équa- 
tions 



les X y représentent les inconnues, les « et les csont des quantités 
données. 

Nous supposons que ^| «/a [ = S A;i= A converge; et nous 

i.k 

nous demandons si Ton peut satisfaire au système proposé j)ar 
des quantités Xk, en exigeant de plus que ces quantités restent, 
en valeur absolue, inférieures à une borne finie. Remarquons que, 
dans ces conditions, les premiers membres des équations (lo) 
seront des séries absolument convergentes. 

Une condition nécessaire sera fournie par l'inégalité 

I ^i : ^ I -t^A -^2_i I ^'■/•^/■^^l â (' ~^" ■'^) X Ironie Slip, des | xi^\. 

/. = ! 

Elle indique que les quantités [c/| doivent aussi rester inférieures 
à une certaine borne finie C. Supposons cette condition remplie. 

Nous aurons à distinguer deux cas, selon (pic la valeur du dé- 
lei'ininant du svstème s'annule ou ne s'aniiulc |)as. 

Premier cas : A ^ o. — Dans ce cas et dans les conditions 



LES DKTEUMINANTS IM-INIS. 

posées, le système admet la solution 



29 



00 



A"^ 



A(2' 



En efifet, en appliquant les égalités (-), (9) et en remarquant 
que la série double (8) converge absolument, on a 



AO') -h y au, A^^' 
k= 1 



k—\ i=\ 



^J / 



o-^; 



c'est-à-dire que les quantités (11) satisfont au système (10), 
D'autre part, il résulte des inégalités 



|A"-'|l2]l"'' 



<cn 



que ces quantités restent, en valeur absolue, inférieures à une 
borne lînie. 

La solution (i i) est unique; d'une façon précise, le système (10) 
n'admet pas d'autre solution jouissant de même de la propriété 
exigée. En fait, dans le cas contraire, le système homogène 



(12) 



( ( -f- «11 )X^ -1- rti2.r2 -H. . . = o, 



admettrait aussi une solution ^T), x^^ ••• remplissant notre condi- 
tion et telle que l'une au moins des quantités r/ ne s'annule pas. 
Or, les séries doubles qui suivent convergeant absolument, on a 






x,\ 



et par suite x j = o, (juel que soit y'. 



Deuxième cas ; A = o. — Le système homogène [i-i) admet la 
solution 



(i3) 



3o CHVI'lTnE II. 

où /d»-signe un iinlice (|uelc(jn(|iie. C csl une conséquence ininié- 
diiile (les lornuiles ((>). 

Sii|)posons que les indices i cl k soient choisis de telle façon 

que le mineur ( | 3^0. Dans ce cas, la solution (i3) difTère de 

la solution évidente a") ^ jto^ . . . = o et, de plus, elle est unique 
à un facteur près. En effet, suj)posons que le système admet la 
solution 'Xi = Çi, x-,^^ ;•.>, • . -, et remplaçons la f'"''"*-' équation par 

' i 



Le déterminant ilu nouveau svslème est 



donc, ce 



système rentre dans le premier cas que nous venons déludier. 
Par conséquent, il admet la solution unique 



;/■■• 



\ 2 / ,. 

oc-, = — — ;/, , 



) 



2-i. Mais il peut arriver que tous les mineurs I ) s'annulenl. 
Pour discuter ce cas. il faut tout d'ahord étendre Ja notion de 



mineur, en introduisant. a\ ec M. von Koch, les mineurs 

d'ordre /'. Nous entendons par lace que devient A lors(jii"on ^ rem- 
place les /■ éléments qui appartiennent à la fois à la ligne ip et à la 
colonne kp (/^ = 1 , . . ., /•) par i et les autres éléments de ces lignes 
(ou aussi des colonnes) par zéro. Notre règle générale de conver- 
gence s'applique aussi à ces nouveaux déterminants. 

Démontrons d'abord le théorème de M. von Ivocli : Il y a tou- 
jours un mineur de A cVordre fini qui ne sUinnule pas. En 
parliculiei\ m désignant un nombre suffisamment grand, le 

f l, . . . . in\ . 1 rr' 

mineur sera certainement dif/erent de zéro. 

\i, ••••/«/ -^ 

Su|)f)osons en elfet m ici ciue 



V 



î\,n 



1 ^'<l 



Cela posé, on a 



I, . 



, m 



A/- 



A,A/,-...^i-R, 



R^,-... 



1-2R, 
I - H„ 



>o. 



(■ =: ;/i -4- 1 
A = //( -t- 1 



I.ES DKTKKMINAMS INFINIS. 3i 

l2o. D apiN's le lliéorèine démonlré, il existera, dans le cas con- 
sidéré, un nombre r lel que A sannnle avec lous ses mineurs 
d ordre i , . . . . /' — i , mais 1 un au moins des mineurs d'ordre /• csl 
différent de zéro. Soit 

U. .... /J^° 

un lel mineur. Piem|)Iaçons dans (\i) les r équations qui corres- 
pondent aux indices /,,..., ir par 



^/,,. = ;â,.. 



., Ir 



Le déterminant du système ainsi modifié est! ' ' J ^ o; 

donc le système rentre dans le premier cas et admet la solution 
unique 



1 , . . . . j ,. \ /il, 



(i4) :r,.= -lAl-lI^lAzi^ \/u, ...,A,/ VA,,..., A 



' '1, • ••, Ir 
\ kl, . . . , /i> 



Or. donnons aux indéterminées ç^, ..., q^^ des valeurs quel- 
conques; les valeurs qui en résultent pour les x^ satisfont aux 
équations liomogènes (12), sauf peut-être à celles qui corres- 
pondent aux indices /, , ..., /,. et qui étaient exclues pour le 

Ar • 1 ■ / '1 '/'-l' '^ tp+l: ■■■■ 'r\ ,, , 

moment. Mais les mineurs 1. d ordre /• 

par rapport à A. étant en même temps des mineurs du premier ordre 
j)ar rapportait déterminant I 1> on a eu vertu 

,''I "/)-li A/^H-l7 •■•? ''rj 

Vf il, . ■ ■ , i, . . ., ir 
^ "'V/„ ...,/., ...,/v 

Al, .... A/j-l, A/j_^i, ..., A,. 

OÙ l'on a supposé i'^/,, ..., /^_,. //j+i- .•■, //-et où la sommation 

s'étend à tous les indices /,- ^ /,-, />>-i. /'/j+m •••; ^'z- Or on 

pourra étendre la sommation à tous les /.• et la formule vaudra jiour 



de (9; 








fi...... 


«, .... i, 
i....,k, 



3> CHAPITRF II. 

tous les /, en convenant de poser, par définilion. 



(lins les cas où deux indices i ou deux indices k se confondent. 

Alor^ posons dans notre formule successivement I; ^z^ k ^ Av; 

en multipliant respectivement par ç,, , . , ç<^ et en ajoutant terme 
à terme, il viendra, en vertu de (i4)i 

.r/-i-^rt//,T/,= o, 

k = \ 

et cela quel que soit i. 

Donc le système homogène (i ?.) admet les solutions {\.\') dépen- 
dant de /• paramètres et n'en admet pas d'antres. 

Considérons maintenant le système non homogène (lo) et sup- 
posons qu'il admet la solution x\^ x[,, .... 11 est évident (pic Ton 
peut ajouter à cette solution une solution quelconque du système 
homogène (12). Ajoutons en particulier la solution qui correspond 
aux valeurs Ç/.^ = — x'^.^, . . ., Ç/,. ^ — x[./, la solution x'[, x".,, ... du 
système (10) qui résulte sera de sorte que xl^, ..., a"2^ s'annulent. 
C'est-à-dire, lorsque le système (10) admet des solutions, il y a 
entre elles une pour laquelle J7/,_ ==... = Xyt.= o, et toutes les autres 
solutions se déduisent de celle-ci en y ajoutant les solutions (1 4) 
du système homogène (12). Tout revient donc à ce (|u"on puisse 
déterminer une solution {x^) de (10) telle (pie ^^^^ . . . = x^^= o. 
Mais dans ce cas les autres inconnues satisfont au système qui 
résulte du système (10) en y supprimant les équations numérotées 
/',, .... //• et les inconnues X/. , . . . , X/^^. Or le déterminant du svs- 

tème ainsi modifié est | ' ' j ^ o; par conséquent, le svslème 

admet une solution et une seule. Pour que le système (10) puisse 
être résolu, il f;iul et il suffit (pie les valeurs jr> ^= . . .z= .r^t^. = o et 
pour les autres/", les valeurs tirées du svstème modifié, satisfassent 
aux équations de rang /, , . . . , /,.. On en lire /• relations entre les 
seconds membres des équ;ilions (10): ces relations expriment la 
condition nécessaire et suffisante pour (jue le svslème jmisse (*tre 
résolu. 

On peut donner à cette condition plusieurs formes, analogues à 



LES DÉTERMINANTS INFINIS. 33 

celles que l'on commit dans le cas ordinaire des systèmes finis. 
Nous n'y insistons pas. Le lait essentiel qui résulte des considé- 
rations précédentes consiste en ce que la théorie classique des 
déterminants s'élend an\ déterminants^ infinis normaux et aux 
systèmes d'équations qui y correspondent. 

LES DÉTERMINANTS ABSOLIMENT CONVEUGENTS. 

26. En tâchant détendre les résultats précédents à des cas 
plus généraux, M. von Koch a bientôt observé qu'une modi- 
fication très légère du raisonnement conduit à une extension 
considérable des résultais ('). En elTet, l'expression majorante U 
est beaucoup plus riche en termes que le déterminant A; elle 
contient tous les produits des | «/a | dont les facteurs appar- 
tiennent à des colonnes distinctes. Le procédé de M. von Kocb 
consiste à construire une expression majorante plus conforme à la 
structure des déterminants. Il prend comme point de départ la 
définition suivante : 

Soit donné le tableau à double entrée (A/a) et supposons que le 
produit P formé par tous les éléments diagonaux An converge 
absolument(ce qui revient à supposerconvergentelasériei]lA,/ — 1 1) 
et formons une suite de nouveaux produits P' en permutant dans I* 
les seconds indices de toutes les manières possibles et en attri- 
buant à chaque produit ainsi obtenu le signe -+- ou le signe — , 
selon la parité ou Timparité du nombre des transpositions néces- 
saires pour passer du produit initial P au produit considéré. SI la 
série A formée avec tous ces produits converge absolument, même 
si Ton remplace partout A// par i -f- jA,/ — i|, nous convenons de 
considérer A comme le déterminant des A,a et dédire que le déter- 
minant converge absolument. 

27. Posons au = A/, — i et a,/.- = A/y; pour i ^ le. En dévelop- 
pant les produits P, P' suivant les produits des quantités a, l'by- 
|)Othèse faite par M. von Koch revient évidemment à ce que la 
somme de tous ces produits converge absolument. Dr, les termes 

(') Vo\ I\ucii, Sur la convergence (/es déterniinanls d'ordre infini 
{ Biliang till K. Svenska Velenskaps-Akadcmiens Ilnndlini^ar, t. WII, iSgO, 
n" 'i, p. 1-3 1). 

R. 3 



34 niAI'ITRE II. 

d'une somme absolumeul convergente pouvant être i-angés d'une 
façon quelconque, on en conclut que A admet les développements 

A,-f-rAo— AO-r-fAs— A,)^-..., 



-2"''-^ 2 



'./=i 



an 



i. /. A = I 



«a- 

a nie 



f'IÙ Clkj 

De plus, quand le d<-leriuinant A con\orge absolument, il en sera 

de même quant à ses mineurs j)rincij)aux ( . ' .' j • En efTet, tous 

les produits des quantités «, dont se composent ces mineurs, 

entrent aussi dans le développement de A. 

Ces mineurs principaux ne peuvent pas tous s'annuler. En effet, 

quand w-^x, la somme des produits des a, dont se compose 

/i, ...,m\ , , , . \, ...,m\ 

, tend vers z.ero, donc -> i ; par conséquent, 

Vi, •••, m) \»' •••' '"/ 

/ I, ..., m\ 
pour m suffisamment grand, ( ) 7^ o- 

11 convient d'observer que, pour les mineurs non principaux, la 
convergence absolue du déterminant A n'entraîne pas toujours 
celle de ses mineurs. Mais, dans le cas où aucune des quanti- 
tés aik{i^ k) ne s'annule pas, la convergence absolue de tous les 
mineurs suit immédiatement de celle de A lui-même. 

Supposons en particulier que le déterminant A et pour un cer- 
tain indice /,, les mineurs ( j convergent absolument. Dans cette 

hypothèse, en rangeant les termes d'une façon convenable, on 
obtiendra la règle de Laplace : 

/A- 



^=a)-2"'H:- 



Eu utilisant ces résultats, le lecteur se rendra aisément compte 
de ce que la méthode des déterminants s'applique aux systèmes 
infinis d'équations linéaires dans tous les cas où les déterminants 
qui entrent dans le calcul et leurs mineurs convergent absolument. 

28. M. von Koch a donné une condition nécessaire et suffisante 
de ce que le déterminant A converge absolument. Considérons les 



LKS DÉTEHMINANTS INFINIS. 35 

produits circulaires des quantités ctih'-, nous entendons par produit 
circulaire d'ordre /■ tout produit de la forme a, , «, , . . .«, ,,.«, , , 

I '1'' '1 '3 '/■— i " 'r'i' 

les indices /,, .... /,. étant supposés être distincts. Par produit 
circulaire du premier ordre nous entendons les quantités «//.Tous 
les j)roduirs circulaires figurant dans le dévelo|)j)ement de A, on en 
conclut que pour que A converge absolument il faut que la série 
formée avec tous les produits circulaires converge absolument. 
Mais cette condition nécessaire est aussi suffisante. En fait, for- 
mons le produit infini n(i + |/?|), étendu à tous les produits cir- 
culaires p. Le développement de ce produit contient, en valeur 
absolue, tous les termes du développement de A. Lorsque S|/>| 
converge, n(i-f-|yD|) convergera aussi. Par conséquent, lorsque 
2|p| converge, le déterminant A sera absolument convergent. 

Pour que le déterminant infini A converge absolument^ il 
faut et il suffit que la série formée avec les produits circulaires 
des quantités aih converge absolument. 

29. Il est presque évident que les déterminants normaux 
convergent absolument, ainsi que les autres qui en résultent, en 
remplaçant les éléments d'une colonne par des quantités bornées 
dans leur ensemble. En effet, quant aux déterminants normaux, le 
produit infini n(i 4- |f/M|) étendu à tous les i et à tous les A" est 
convergent, et le développement de ce produit contient, en valeur 
absolue, tous les produits circulaires. Pour les déterminants du 
second type, une telle expression majorante résulte en ajoutant le 
facteur i -f- C et en supprimant, d'autre part, les facteurs qui cor- 
respondent à rindice k. Les mineurs appartiennent au même 
tjpe, donc ils convergent aussi absolument. 

En cherchant des règles plus générales, M. von Koch a formé 
une suite de critères de plus en plus précis de ce que le détermi- 
nant A et tous ses mineurs convergent absolument. Nous nous 
bornerons ici à exposer un des plus simples qui est d'ailleurs im- 
portant pour ses applications aux équations intégrales. 

Pour que le déterminant A et tous ses mineurs convergent 



(') \0N Koch, Sur la convergence des déterminants infinis {Hendiconti 
et Circolo mat. di Palermo. t. WVIII. 1909, p. 255-2'3G). 



"iG CHAPITRE 11. 

absolunten/ , il suffit 'jue les deux séries 



V 



y, i«/A- 



/,A = 1 



coinersent. 



Observons que les mineurs appartlenneiil au même tjj^e que A, 
clone nous pouvons nous bornera dénionlrer (pic A converge abso- 
lument. D'aj^rès le théorème que nous venons d'établir, tout 
revient à démontrer que la somme des modules des produits 
circulaires converge. Quant à ceux du premier ordre, nous 
l'avons supposé explicitemenl ; nous n'aurons à en\ isager dans 
la suite que ceux d'ordre >> i. 

Xous suivrons la marche de la démonstration de M. von Roch. 
Posons 



Clik 



la sommation s'étendant à tous les entiers /. /.imi,;)., ..., sauf 
les combinaisons i=ik. Désignons par | /', , /•>. ..., ir\ la valeur 
absolue du [»roduit ciiculaire a, ,^,, rt/./p • • ., rt,^,^ et par | /i, /o, .. ., 
i,] 'r+i I celle du produit a,,,.,, «,„/,,, . • • , ^f-o-'r+i ' "O"^ }' supposons 
les indices /, , i^, ... d'être distincts; chaque fois que cette con- 
dition n'est pas remplie, nous posons, par définition, 



fl, 12, 



, «r I = O, 



, '/•; '/ 



Dans les calculs qui suivent, nous nous servirons de l'inégalité 
bien connue de Lagrange-Cauchy (') : 



^<uf',- '=('^\o,b,\y<y^\n,-\^^.^\b,\-\ 



(ij) 



portant sur des nombres (|uelcon{pies. Elle découle de ridenlité 
de r^atiraniie : 



o, 



'■^l^^l-^ 



2i«'^' 



2 (k''-^/. 



<'Ab,\r-. 



(') Cauciiy, Cours d'.Analyxc de l'École royale Polytechnique^ l*aris, iS>'|. 
Note II; Œuvres, i"^ série, l. III. 



LES OKTKRMI.NANTS INFINIS. 87 

La sommalion petit èlre élenclue à une infinilé de termes; il 
faut siip|)Oser seulement (|ue les deux séries qui fii^urent dans le 
dernier membre de I iiK'gaiité (i5) converi;ent; la convergence 
absolue des autres séries en l'ésulte immédiatement. 

Ajjrès ces préliminaires, considi-rons d abord le cas t ■< i . 

On a, d'après (i 5), 

2l'-„/:/.i)'i2l'-'l'2' '■''''■ 
ce qui donne, pour / = /.\ 

i.i 

et, d'autre part, pour / quelconque, 



h \ i 



J)onc, les inégalités 



ei 



('7; y S y |, •,.,•.,...,,•„: y, ) ^^..-.;, j,,, y i. 



i 



sont vraies pour n t=. a. Supposons qu elles soient vraies j)Our une 
valeur déterminée de n et montrons rpielies subsistent pour /? + i . 
On a 



'// '• '/i-t-i 






jri-hl 
■- 1 j ■ /i -(- 1 I I - -^ 

'l.'n+l 



38 



CHAPirUE II. 



et 



1( 1 



V 






to, ..., f„+i ;y 



C'est-à-dire (|ue les inégalités (i()),.(^i-) étant supposées vraies 
pour n, elles subsistent pour n -{- \ . Mais elles sont vraies pour 
/i = a ; par suite, elles le restent pour/? queleonque. 

D'après (•<>), la somme des modules de tous les produits circu- 
laires d'ordre >» i reste inférieure à la somme de la série conver- 
gente 



par conséquent, le déterminant A converge absolument. 

Dans ce qui précède, nous avons supposé a- << i . Je dis que le 

cas général se ramène à ce cas parliculiei'. En fait, quand ^\\(ii/i\' 
converge, on peut choisir /n de sorte que 



', ^ 



V 

1 = m -(- I . Â = 1 



I «//.!-< ,t; 



le nombre ni étant déterminé de celte façon, on choisira une quan- 
tité positive / suffisamment petite pour que 



(') Cf. outre le Alémoire de M. von Kocli, la thèse hongroise de M. Szi'isz : 
A végtelen determinànsok elmcletéhez, Budapest, lyii, où ces systèmes et les 
déterminants qui y correspondent sont étudiés indépendamment de la théorie 
générale des déterminants absolument convergents. 



LES DÉTERMINANTS INFINIS. Sg 

Multiplions par t les t'icnienls des m premières lignes de à ; il 
résulte immédiatement de la définition donnée au n" 26 cpie le 
déterminant A converge ou ne converge pas absolument en même 
temps que le déterminant modifié. Mais, pour ce dernier, on a t^i ; 
donc il converge absolument. Par conséquent, le déterminant A 
converge aussi absolument. 

30. Les cousidérations précédentes font voir que l'on peut 
étendre les résultats obtenus portant sur les systèmes (lo) et (12) 
en imposant aux inconnues J7yt et aux données «//t, c^ les conditi(ms 

que les séries ^I-^'^l'' 2l^^''l' S'^*^'^'' ^' 2'^''' ^-«"^'ei'gent- 

L'application la plus importante de tels systèmes est celle aux 
équations intégrales. Nous en parlerons plus tard et nous verrons 
que les conditions imposées maintenant se présenteront d'une 

façon bien naturelle, sauf la convergence de ^[«hI- Observons 
que Ton peut se débarrasser de cette dernière condition en mul- 
tipliant les équations du système par des facteurs convenables. 

En fait, supposons (pie les séries ^|c,|-, ^|«/a1" et alors en 

i i, k 

particulier la série ^| «,,]'- convergent; en appliquant l'inéga- 

lité l,-.(i + «)_.|=|_^ + ^_^+... ^t^^i- et 
en remarquant que aa-^ o, on en conclut immédiatement la conver- 
gence des séries Vle^^iVC/l'-, ^^\e~'^naik\- et ^|e~«H(i-l-rt,7) — i j 

/ i. /. ' 

Par conséquent, si l'on multiplie chacune des équations par la 
quantité correspondante e~"", le système modifié sera du type déjà 
considéré. 

31. Enfin, supposons que les données «/a soient des fonctions 
ai/({\) d'un paramètre À, holomorphes dans un domaine D et 
supposons de plus que les conditions y imposées soient, par rap- 
port à À, uniformément remplies. Par exemple, quand il s'agit des 

déterminants normaux, nous su|q)Osons que ^|«//f(^OI converge 
uniformément. Cela posé, les dévelo[)pemcnts donnés pour A con- 



4o ClIAPITIti; II. 

ver-^enl iiiiifoiinéineiit el Ui loiidiuii !().) ainsi définie esl //0/0- 
moi'p/ie en y.. 

Lorsque A n'est pas i-ariiic de A(a), le système d'équations formé 

avec les rt/A(">-) admet un»- solution bien déterminée .r^i ).)= . / • 

"•'Ai/.) 

Envisagée en fonction de A, Xa( A) esl méromor[jhe dans l'intérieur 
du domaine considéré et ses pôles sont racines de A(a). 

En développant le déterminant A(a) en série procédant suivant 
les produits des fonctions rt//i(À), cette série converge absohimenl 
et uniformément et Ton peut appliquer à l'étude de la fonction 
A(X) les règles générales concernant les séries de fonctions ana- 
lytiques. En particulier, on peut calculer les dérivées successives 
de A (À) par rapport à A et il esl facile de préciser les condi- 
tions pour que ces dérivées puissent élre mises sous la même 
forme que pour les déterminants d'ordre fini. Su|)posons ))ar 

exemple que la série > |«'/,7,(A)I converge uniformémenl dans le 

domaineD; donc le développemenl deA().) y converge absolument et 
uniformément et on en obtient la dérivée ■ ,, en diflerenlianl terme 

à terme. D'autre part, la série ^ 






danAK) 



d\ 



étant aussi converij^ente 



et les mineurs du premier ordre du déterminant A (a) restant bor- 
nés dans leur ensemble, la série 



(18) 



2(.) 



\ dau: 



converge absolument. Or, on |)eut aussi dévclo|>pcr les mineurs 
suivant les produits des fonctions aii,[\), et même si l'on remplace 
chaque terme par sa \al<Mir absolue, les mineurs ainsi modifiés 
restent bornés dans l(;ur eiiseml)le. Donc en développant (18) 

suivant les |)roduits des fonctions «//,().), — '^. ' > la série obtenue 

conv(n"ge absolument ; par suite on y peut ranger les termes d'une 
façon arbitraire, on peut les ranger, entre autres, de sorte qu'on 
obtienne la série qui résulte en dillerentiant terme à terme le 
développement de A(à). Par conséquent, la série (18) repré- 



LES DKTER.MINANTS INFINIS. 



4i 



d\(l) 



seule — 7^- Enfin, en iiosant A,a( a) = • -^ <^iikO^) ou Oif^Ck) suivant 
que i = A ou / ::;2i A-. on a r- = 7^ — J alors, en remplaçant 



dan- d\i/ 



d\ 



dans (i(S) les — t^ par — t^ > I expression obtenue pour -t- auna la 

' dl. ^ dk 1 "^ c/a 

forme habituelle. 



CHAPiTRi-: m. 

ESSAI DUNL; TIIÉOIÎIE GHNÉHALE. 



INTRODUCTION. 



32. Pour appliquer la iiiclliode classique des déterminants aux 
systèmes infinis, il fallait imposer aux données des conditions 
plus ou moins reslricti\cs, et il faut avouer que c'est la mélliode et 
non le j)roblème qui exi<4eait ces restrictions. Dans ce qui suit, 
nous nous placerons à un point de vue beaucoup plus général, dû 
en principe à M. E. Schmidl ('). Nous commencerons par pré- 
ciser la nature des solutions admises {ock) et, quant aux données, 
nous ferons la seule hypothèse que pour tout système admis (^a)î 
les séries figurant au |)remier membre des équations doi\ent être 
convergentes. La question principale sera celle de {existence des 
solutions; il s'agira seulement en second lieu de rap|)areil (pii les 
fournit. 

Le cas le plus important au j)oinl de vue des applications est 
celui où l'on exige que 7 \xk\' converge. Pour le traiter par la 

méthode des déterminants, il nous fallait supposer con\ergentes la 
série double Xk^'/il" ^^ ^^ série x,k"'i'- Comme nous allons \()ir, 

la théorie de M. Schmidt ne suppose «pie la convergence des séries 

simplement infinies ^|rt//,l"- Une théorie intermédiaire fut bas('e 

/, 
par M. llilbert sur létude des formes quadratiques et des formes 

(') Schmidt, Ueber die AuJIosung linearer Gleichungen mit abzàlilbar 
unehdlich vielen Unbekannten [Ilendiconti del Circo/o Mal. di Pulermo. t. \\V, 
190S, p. 53-77). 



ESSAI D UNE THEORIE GENERALE. 



bilinéaires à une infiiiitc de variables ('); elle est beaucoup plus 
ellîcace que la niélliode des déterminants, mais elle est moins 
^^énérale que celle de M. Sclimidt. Quant à l'ordre liistorique, il 
convient d'observer que la théorie de M. Hilberl est antérieure à 
celle de M. Scbmidt, elle l'est aussi à l'étude des déterminants tels 

que ^|«/a|" converge, mais elle est postérieure à la théorie géné- 

raie des déterminants infinis et absolument converaents. 

Les Chaj)itres IV et V sonl consacrés à la théorie de M. Hilbert. 
Dans le présent Chapitre, nous allons exposer, sous une forme 
légèrement généralisée, la théorie de M. Schmidt. 

LES INÉGALITÉS FONDAMENTALES. 

33. Nous aurons à partir de l'inégalité 



(0 



p-1 

V 



^a,M d^\a,\7^^) (2 



,1^/.|" 



(yx),. 



portant sur des quantités «a, bk quelconques, réelles ou non. 
Etablie et utilisée déjà par Cauchy pour/? = 2 (-), elle fut étendue 
par M. Holder à tous les /> ^ i (^). 

Il suffit de démontrer l'inégalité (i) pour des quantités «/;, b/,- 
positives; elle subsistera, à plus forte raison, pour des a el b 
quelconques. On peut aussi supposer les a el b essentiellement 
positives, en considérant comme des cas limites les cas oii l'une ou 
l'autre de ces quantités s'annulent. Enfin, on peut supposer n = 2, 
car. avant démontré l'inégalité pour ce cas particulier, on l'étend 



(') Hu^BERT, Grundziige einer allgemeinen Théorie der linearen Inté- 
gral gleichungen, 4- Mitteilung [Naclirichten d. k. Gesellscliaft d. Wiss. zu 
Gôttingen, i()o6, p. 157-2J7). 

Les six Mémoires de M. Hilbert sur les équations intégrales viennent d'être 
réunis dans un Volume (Leipzig, 1912). 

Cf. encore Hilbkrt. Ifese» und Ziele einer Analysis der ittiendliclivielen 
unabhàngigen Variabeln {/iendiconli del Circolo mat. di Palermo, t. XWII, 
1909, p. 59-74). 

{') Cf. n-29. 

(') HoLDER, Ueber einen Mittelwertsatz {Nachrichten Ges. Wiss. Gôttingen, 
1889, p. 38-47). 



44 fiiAi'rTni: m. 



à tous les n en raisonnant par récurrence. Donc il nous reste à 



démontrer l'inégalité 






les quantités rt,, />,, a^. b-, étant supposées essentiellement posi- 
tives. 

La démonstration se f<-ra aisément à l'aide des méthodes usuelles 
du Calcul diflerentiel; en laissant fixe les quantités <7(, «o, 6), on 
fait varier b.,\ la dérivée de l'expression au premier membre, 
par rapport à b-y, ne s'annule que lorsque 

1 

(3) '•=(|)""'''^ 

elle est positive pour toute valeur plus petite de b., et négative pour 
toute valeur plus grande. Par suite, la valeur envisagée de b-, rend 
maximum la valeui- «le notre expression; en substituant, on 
reconnaît que cette valeur maximum égale o. L'inégalité (2) est 
donc vraie; de plus, le signe = ne vaut que dans le cas (3). 

Pour le cas où les quantités «/,, />a sont positives, ^L Jensen a 
donné une interprétation géométrique très intéressante de l'inéga- 
lité (t). 11 envisage la courbe }' = xP{x >> o) ; cette courbe est con- 
vexe, c'est-à-dire que les cordes sont situées au-dessus de la courbe. 
Soient P, P/, les points de celte courbe avant j»our abscisses 

1 1 

a\^''b,, .... a\~'' b„. Virectons ces points des masses posi- 
_p_ p 

tives «/,'"', «'î~'- Cela posé, l'inégalité (i) exprime le fait 

(|ue le centre de gravité du svstcme est situé au-dessus de la 
courbe; le signe = ne conviendra (]ue si les points P coïncident ( ' ). 

L'inégalité (1) s'étend immédiatement aux séries infinies. En 

effet, supposons que les deux séries A = I|a/;|/'~' , B:=2|^a|/' 
convergent; cela posé, les sommes partielles de la série 'Z\aiibk\ 

ne surpasseront pas, en vertu de (1), la borne A /' B''. Par 

(') Jknsen, Sur les fonrdoiis convexes et lea iné^alUéx entre les valeurs 
moyennes (Acta matheniatica, l. X\X. 190G, p. 170-11)3 ). 



ESSAI DLNK TIIKOHIE GENERALE. 

conséquent, la série '^a/(ù/t converge absolument et l'on a 



.i-> 



(4) 






p-l 

I' 



2i"'-i'^ H^''- 



(p>l)- 



3i. Nous aurons encore à nous servir de 1 inégalité 



/ 



(5) 



^\a. 



+ h/, ]'• 



(ik /' 



2i*' 



(/^>i)- 



On l'obtient par une analyse tout analogue à ce qui précède; mais 
elle suit aussi immédiatement de l'inégalité (4). Nous nous con- 
tentons d'exposer le cas où il s'agit de quatre quantités positives rt, , 
«2? ^^^ ^2j car on passe de ce cas j)articulier au cas général en 
raisonnant toutcomme plus haut ('). 
En appliquant (2), écrivons 

(6) (ai-i- 61 )/'-!-( a2-+- 6.,)/' 

p-i \_ r-^ i 

i [(ai-^biy-^icii^b.)/'] f (a'(-^ a'^f -^[(cii^ bi)i>-i-(a.^b.2)i'] P (b'^^b'^)P; 

le signe = ne convient que si 
ao -+- />-i 



bo 



^1, 



c'est-à-dire si a^ />o = a.lu- 



(') Pour un nombre fini de termes, l'inégalité (5) fut établie par .Minkovski : 
Diopliantische Approxlmntionen, 1907, p. 95. Il s'agit clans cet Ouvrage de la 
théorie importante que son auteur appelle Géométrie des nombres. Dans l'ordre 
d'idée de celte théorie, l'inégalité (â) sert à exprimer la convexité du domaine à 
n dimensions 



Itemarquons (|ue,.dans les raisoniieiiicnts qui suivent, l'inégalité (5) pourrait 
être remplacée, pour la plupart des cas, par l'inégalité à peu prés éviilente, 

k-ï k=l k=ï 



46 ciiAPiTRt: m. 

En divisant par [(a^ -h />i V'4- («2+ b.,)f'] '' , on obtient l'iné- 
galité à démontrer : 

i i i 

[(ai~bi)i>^ I 0-2^ b2)'']''i(aP -r- o'.;)l'-h (b'(-+- bP^f : 

le signe = n"a lieu que dans le eas précité. 

Voilà une seconde forme de notre inégalité, que l'on obtient 
en j remplaçant «a par oi^ — h^ '. 



*=i 



(7) [^\<^i^-b,\py^i^\a,\'') -(^l^^'l'' 



Précisons encore les conditions pour (|ue le signe ^ convienne 
dans (5). Pour cela, il faut et il suffit (pie les b soient propor- 
tionnels aux a : 

ai:bi = a.2:b.i = ..., 

et que ces rapports soient positifs. 

Ces conditions sont évidemment suffisantes. Montrons qu'elles 
sont aussi nécessaires, (^iiand la seconde condition n'est pas 
remplie, on peut augmenter la valeur des termes |«/;+ bf,\P sans 
modifier la valeur absolue des a et b. Donc cette condition doit 
être remplie, et quand elle est remplie, on peut supposer, sans 
restreindre la généralité, que les a el b soient positifs. Mais, dans 
ce cas, le signe = ne peut servir que quand les b sont proportion- 
nels aux a. En effet, supposons, pour fixer les idées, «, : 6, y^a-2 : Z^o, 
c'est-à-dire a^b.^^ a^b^. Nous venons de voir que, dans ce cas, 
c'est le signe < qui convient dans (6); donc, on peut augmenter 
la valeur de 

(a, 4- ^'i)/'-F(rt2-+- hi)P 

sans modifier celle de «f -|- «i* ou celle de ^f -f- bl]. Alors on aura 
augmenté le premier membre de (5) sans modifier le second; 
par conséquent, dans le cas posé, le signe =■ sera exclu. 

LIi l'HOBLÈME. THKOnÈ.ME DE M. LAM)AU. 

3o. Considérons le système formé d'un nombre fini ou d'une 
infinité dénombrable d'équations 

( 8 ) 2^ "ikXk = Ci ( î = 1 , 2, . . . ). 



ESSAI I) UNK THÉORIE GÉNÉRALE. 4? 

lùanl (li)nnc un nombre y> > i , choisi arbitrairement une fois 
pour toutes, on se propose de déterminer une solution (^a) du 
système, cl cela de sorte que la série 

(9) ^\^/A'' 

converge. 

Quant aux données, nous ne faisons qu'une seule hypothèse. 
11 faut que moyennant cette hypothèse, les équations (S) aient un 
sens. Mais avant d'avoir eft'eclué la résolution, nous ne savons rien 
sur les quantités J"/,. Nous sommes donc amenés à supposer que 
les premiers membres de (8) convergent pour tout système (^a) 
tel que (q) existe. Cela revient à supposer que, pour tous les i, 
les sommes 

convergent. En efiVl, MM. Hellinger et Tœplitz ont démontré pour 
y> = 2('), et M. Landau pour p quelconque >■ i (-), que la 
série 

(10) /^ ak^k 

k — \ 

ne peut converger pour tous les systèmes [xk] tels que (9) existe, 
sans que 

(II) 2 1 ""'■''" 



/' 



converge. D'autre part, quand cette dernière condition est remplie, 
l'inégalité (i) permet d'affirmer la convergence absolue des séries 
(10). 

Il reste à démontrer le théorème de M. Landau : Lorsque la 
série (10) converge pour tous les systèmes (xk) tels que (9) 
existe^ la série (11) converge. Supposons que cette dernière série 
soit divergente; nous allons définir un système i^Xk) tel que (9) 



(') Hellinger u. Tœplitz, arundlagen fur eiiie Théorie der unendlichen 
Matrizen {Nacliiicliten Ges. Wiss. Gottingen, igoG, p. 35i-355). 

(-) L\nï)AV, Ueber einen Konvergenzsatz [Nachvichten Ges. Wiss. Gottingen 
1907, p. 2.5-27). 



4o CHAPITRE 111. 

converge et que (lo ) diverge. Posons 

on a 5,j— >-oc. l'artageons la suite des indices o. i, 2. ... en des 
groupes o; 1 , 2, ...,/?,; /?, + 1 , ..., n-,: ..., de sorte que 



L'indice /.• appartenant au groupe (pii finit par //,.. posons 



il en résulte 



A=l 



2 

A=l 

et la série (10) diverge. Par contre, 

A- = 1 U. ~ 1 [JL = 1 

par conséquent la série (9) converge. 



UNE CONDITION NECKSSAIRK. 



3G. Supposons tpie le système (8) admette une solution telle 
que 

eo 

Soient U.1, ..., [j.« des nombres quelconcjues, réels ou non. Los 
valeurs [xh) satisfont aussi à l'équation 



A - 1 \ / - 1 / / - 1 

qui n'est qu'une comhinaison linéaire des n premières des équa- 



(') Pour la noLaliou signe, c/. la remarque faite au ii°\;i. 



ESSAI DINK TIwiORIK GÉNÉRALE. 

lions (8). En a|)[)liqiianl linc-galiU' (4,)? il vient 



(i3) 



^l^^c, 



11 



\J-iCltk M'A- 




2-'^'«'-^ / \1\'"'\" 



on en tire, d'après (12), 



(14) 



^\^,Ci ^mI 2 ll'-i'^il^ 



xA^l 



p_\ p 



49 



Ainsi, nous avons étaljli une condition nécessaire pour que le 
système (8) admette une solution telle que (12). Elle consiste 
en ce que rinégalilé (i4) ait lieu quels que soient n et les 
nombres réels ou non iji/. (Dans le cas où les équations (8) sont 
en nombre fini, on peut snp[)oser n fixe et égal au nombre des 
équations .) 

Nous allons voir que cette condition est aussi suffisante. 



LA CONDITION EST AUSSI SUFFISANTE. 
CAS OÙ IL V A UN NOMBRE FINI DÉQUATIONS. 

37. Considérons dabord le cas particulier d'un nombre fini 
d'équations 



(i5) 



2j "'■/. or/, = c, ( i = 1 , 2, . . . , rt). 



Supposons la condition remplie. 
Posons 

A/.(ai, . . ., a„) -^ \J.,aii, A(u,, ..., ,a„ ) =2^ \^lA\^u • ■•• !-»-« 'I''-' 

(:([j.i, . . ., \j.„) = 2^ i-^'' 

R. 



chapitui: mi. 



C(|i.,,..., 'j.„) est une foncliou conLinue des n variables jj.,, |j.„. 

Elle l'esl aussi en fonction des in variables réelles 

JJe plus, elle adniel par ruj)|)orl à ces in \ariables des dérivées 
coiilinuesdu premier ordre. Pour simplifier le calcul, nousneconsi- 

, . I , ■ • ''<: oc. , — 1 ' • ' 

ut'iniis que les conil^maison^ — : ; — - v — i de ces dérivées. 

1 \Xi <l^ ' 

On a 



(i6) — r T,V — 1= — - — c/C' si^rne > [J-iC:. 



On a de même 

p r 

()|A/,-|"-' f^lA/, ir- 



(^uanl à la fonclion A(|j.,, ..., [J-n), remarquons d'abord que 
la série qui la délinii converge pour tout système des valeurs 
•jLi, ..., <j-n- On prouve ce fait en appliquant successivement aux 
suites ([j.,«(/;)5 •••A\i-n<^nk) l'inégalité (5); l'exposant /> doit y être 
remplacé par — ~ — , ce qui est permis, car — - — >• i . De plus, la 
même inégalité prouve que la série qui définit A (a,, .... <x„) 
converge uniformément jjoiir tout domaine fini des 'j. ; j)ar suite, 
A([ji,, ..., |j.«) est une fonction continue des variables |j.', y.". 

Dillerentions terme à terme la série qui définit A(|j.,, ..., |j.„) par 
rapport à la variable [j.^ (ou y./); le A'^'"'" terme de la série obtenue 
ne surpassera pas, en valeur absolue, le second membre de (17). 
Par conséquent, la série 



/■=1 \/=l / \/, = l 

\/c=l / 

est une majorante pour la série dérivée; et comme la série majo- 
rante converge uniformément |)Our tout domaine fini des u., il en 
sera de même |)()nr la série dérivée. Il s'ensuit, en vertu d un lliéo- 
rème bien connu concermml la diilérenlialion des séries, (jue la 



ESSAr D LNE THEORIE GENERALE. 



fonction Af'j. ,'J-«) admet des dérivées partielles continues, 

obtenues en ditîerentiant terme à terme. On en conclut que 



(18) ;^-^v^ = ;^2«'^'^''l' ^'="^-'''- 



38. Ces préliminaires établis, supposons encore, pour le moment, 
que les premiers membres des équations (i 5) soient indépendants; 
cette hypothèse peut être formulée en exigeant que A(|jL|, ..., u.„ ) 
ne s'annule pas sans que tous les u s'annulent. La restriction ainsi 
posée n'est pas essentielle; nous nous en débarrasserons à la fin 
du raisonnement. Pour le moment, elle nous sert à conclure 
que, pour A bornée, les quantités ;jl restent aussi bornées. En effet, 
au cas contraire, il existerait une suite infinie de systèmes (|J./), 
de sorte que, pour I un au uioins des indices /, les valeurs (u.,) 
croîtraient au delà de toute limite et que, d'autre part, la fonction 
A resterait bornée. L'homogénéité de la fonction A permettrait d'eu 
déduire une suite de systèmes (u/) tels que, pour chaque système, 
la plus grande des valeurs |'jl/| serait précisément i, et que les 
valeurs de A, qui correspondent à la suite, tendent vers zéro. Or, 
d'après Weierstrass. une telle suite contient une suite partielle 
qui converge vers un système déterminé (;J-/" ). Les ^aleurs 'xf ne 
s'annulent pas simultanément, la plus grande des [ {J-/"'| étant pré- 
cisément I. D'autre part, A étant continue, il faudrait avoir 
AfuLj"', ..., ;j.^" j = o, contrairement à l'hypothèse faite. 

A et G sont des fonctions continues des u, et pour A bornée, 
les 'j. restent bornés; donc la fonction G le reste aussi. Par consé- 
quont. en faisant varier la fonction G sous la condition A :^ i , elle 
atteindra son maximum pour certaines valeurs jj.,, ..., ;j.,j. Le pro- 
cédé classique du Galcul dilîerentiel fournit pour ces valeurs y. les 
équations 

I \_ " . 

i c,[C(,ai, . . ., ;-i«)]/' signe ^ \).jCj 

(19; / - '"' _i_ 

1 = X V «,/,! ÀAr ;^i, •xn) |''~' signe A/,(;ai, .... ;j.„ ) 

F * = ' 

I ( t = I ,-.>...... /i ) , 

(•io; A(;.t,, . . ., a„ ) = I. 



CHAPITRE m. 



En nmllipliant les (''(lualiDns (H)) par u/ et en ajoiilanl. il 
vient 

A = G( ;^i, . . ., [J-n)- 

Par consér|iient. on a pour les valeurs envisagées des u. 



/^ [jiyry-N c///. I A/,( ;^i, ..., ii.n)\'' ' sigiieA/, (;ii, ..., ;-i«)= Ci 
( t = 1 , 2, . . . . n). 



> = 1 / = 1 



Or, c'est précisément la solution du sjstème (i5) que nous 
venons d'obtenir. En eflet, u, 'j.„ étant les valeurs extrémales 

envisagées, posons 

_i " 

(21) a;it'^= 1 A/,(;a,, ..., ;-i„jl''~' signe A/.Cjai, ..., ,u„)^,a,c,- (/e:= 1,2, ...); 

(= 1 

les quantités .r^" ainsi définies satisfont aux équations (i5). 
De plus, il résulte de (li), (20) et (21) 



(12) 



2i^'"i"^ Sî^'-"' 



< M/\ 



c'est-à-dire que sous les conditions posées, le système (i5) admet 
une solution telle que (12). 

L'inégalité (22) peut être remplacée par une relation plus 
précise. En ell'et, soit M^"^ le plus petit des nombres M rem- 
plissant rinégalité (i4) j^our tout choix des quantités |jL|, ..., tj.,, ; 

/' 
donc [M'" ]/'"' sera la valeur maximée de la foiution C([j.,, ..., a,,), 

variant sous la condition (20). Ce maximum sera atteint pour les 
valeurs envisagées des u, qui ont fourni la solution (a'^"'). l^ar suite, 
on a 



(23) 



y\\^r\"= 



MC')''. 



D'autre part, d'après l'inégalité (i3), loulc solution (jl/,) du sys- 
tème (i;\) satisfait à 1 inégalité 



y 






KSSAI DUNE THÉORIE OKNKUALE. 53 

Donc, la solulion trouvée {x'"') j<^"i' encore (Itine seconde pro- 
priété extrémalc : parmi toutes les solutions du système (i5), 
c'est pour elle que lu somme - | Xh |/' (le\ ienL la plus petite possible. 
Je dis que (^y;"*) est la seule solution jouissant de la pro|)riété 
(pie nous venons d'observer. Va\ odet, soit(xA) une telle solulion; 
rint-yaiité (5) donne 






■^/. 



ki» 



ï(2i- 



\ I' 



M"'"'; 



et comme 



^/,- 



satisfait aussi au svsième (i')), il ne peut 

valoir que le signe =. Or, dans le n^Gi, en discutantl'inégalité (5), 
nous avons aussi précisé les conditions d'égalité; appliquons au cas 
présent les critèx'es y trouvés. Il faut que 



et que ces rapports soient positifs. Mais, d'autre part. 



2;kn"=2 



.'■7.- 



A = l 



A = l 



Donc, le rapport envisagé est i, à moins que le système (i5) ne 
soit pas bomogène. Or, le cas bomogène est évident; il y corres- 
pond la solution extrémale .r, = .ro= ...= o. 

11 faut encore se débarrasser de la restriction que nous avons faite, 
savoir que les premiers membres des équations (i5) soient indé- 
pendants. L'inégalité (i4) nous assure que lorsqu'une combinaison 
linéaire des premiers membres s'annule identiquement, la même 
combinaison des seconds membres s'annule également. Par consé- 
quent, on peut supprimer certaines des équations, de sorte que le 
système qui reste, équivalent dune part au système initial, soit 
d'autre part du type considéré, et il est manifeste qu'en réduisant de 
cette façon le svstème, on n'altérera pas le minimum des M. 



39. Dans ce qui précède, nous avons ratlacbé la solution du sys- 
tème (i 5) à un autre problème : rendre maximum l'expression G en 
faisant varier les 'x sous la condition A = i . J'essayerai en quelques 



34 



CHAPITRE III. 



mots de rendre compte de l'ordre d'idées conduisant du premier 
problème au second. Oublions pour un instant les développements 
qui précèdent et supposons seulement (pie le sAstèmei i5) admette 
des solutions telles que S |a7;t|/' converge et que, parmi ces solutions, 
il y en ail une qui rende cette somme minimum, c'est-à-dire qu'il y 
ait un système {^'") qui rende minimum la fonction i]|j:A|''des 
variables x/,, les x variant conformément aux conditions (i;')). Le 
procédé ciassi(pie du C^alcul différenliel fournit le résultat que celte 
solution particulière ./'/' doit avoir la forme (21 ), les valeurs des ;j. 
restant encore à déterminer. On obtient des équations aux incon- 
nues a en substituant les expressions (2O dans les équations (10). 
Les équations obtenues sont linéaires dans le cas/>=2; nous 
reviendrons plus loin sur ce cas particulier. Mais elles sont bien 
compliquées dans le cas général ; dans ce cas, il faut se contenter de 
prouver Vexistence d'une solution; cela suffira pour en déduire 
l'existence de la solution minimum {x"'') de (i5). C'est ce que 
nous avons fait en suivant un chemin indirect. Ce chemin nous 
était suggéré par l'inégalité (i3). En efi'et, soient 'x" , .... ij.,"' les 
valeurs à déterminer qui servent à définir les .r^" ; en substituant 
en (i 3) les expressions des x^^'\ il résulte 



C(,u, 



,jx„).c(ij.\">. ....lAr) 



A([JLi, ...,;JL„)- A(;jL,"', .... u„" )' 

(juelles que soient les valeurs |j.,, ..., u„. Comme on a d'autre part, 
en vertu de (i5), A([jl',"', ..., u.'"-) := i, les |j./" doivent être la solu- 
tion du problème de maximum dontnous sommes parti. 

Ajoutons ([ue, dans le cas où c, = i et les autres c s'annulent, 
notre méthode revient à peu près à celle dont se servit, pour y; ^ 2, 
M. Schmidt dans le travail cité au n" 32. Dans ce cas, notre pro- 
blème de maximum lié se transforme immédiatement dans un 
problème de minimum libre : rendre minimum l'expression 



V 



La valeur minimum de cette expression permet une interpréla- 
tion intéressante de nature géométrique. Elle peut être considérée 



ESSAI I) l NK THEORIE GENERALE. 



dans FesDace à une in{înité de dimensions, comme la distance du 
point aux coordonnées «i a (/'"=• ■. ''-;•••) de la variété linéaire 
déterminée par \es n — i points («o^), ..., (««a), la distance de deux 
points (7^â), (C'a) y étant mesurée par 



THÉORÈMES CONCERNANT LES SUITES DE SYSTÈMES (^a). 

10. Avant de passer au cas général, «'tablissons quelques 
théorèmes dont nous nous servirons. 

Considérons la suite indéfinie des quantités y,"', _/!,"', .... Nous 
supposons que ces quantités \arient avec n, mais de telle façon C[ue 
l'on ait constamment 



1 



/. = 1 



y'^'^ \P^ G/', 



G désignant un nombre positif qui ne dépend pas des n. De plus, 
supposons que les j)')^'" tendent, pour n — >oc, vers une valeur déter- 
minée t^. Cela posé, nous dirons que la suite des systèmes (.Ta'") 
tend veî's le système ( Ta)- 
Démontrons que Ton a aussi 

(24) ^\yl\"^G"- 

k= 1 

En effet, on a pour m quelcon([ue 

/r ^ 1 A =- 1 

Les sommes partielles de la série à termes positifs (p. 4) 
stant !^ G^. cette série converge 
(^ela étant, enxisageons la série 



restant -;G^. cette série converge et sa somme reste aussi ^Qp. 



(25) 2"''-^''' 

k-i 



56 



( ii.vpiTiU': m. 



nous avons déjà \ ii (jiie les séi'ies Sj«;t|''~' et ï [ ia [^ étant 
convergentes, la série (a5) converge absolument. De plus, la 
série (20) converge w/i(/b/v/?e//?(?/?/ |)our l'ensemble des svstèmes 
( Va) tels que 

(26) ^\rA\"=Gr. 



k=\ 



En eflet, 1 inégalité (4) donne pour tout système tel que (26) : 



(27) 



2 «/••>''• 



A = m -t- 1 









le second membre de cette inégalité ne dépend plus des )', et il tend 



vers zéro avec — ■ 
m 



En particulier, appliquons l'inégalité (2-) aux systèmes (y"') 
et vl que nous venons de considérer; il vient 



m 

^("■{yl-r/!") 



M m 



I 



a^rr' 



«/.7/. 



^ = m 4- 1 



\ /, - m ~- 1 

et cela pour m quelconf|ue; |)ar suite, la limite à gauche est o et 
l'on a 



(28) 



"Va/,7;.= liiu y\a,.yi" (ij. 

* = 1 Â = 1 



( ' ) Ce résultat entre comme cas particulier dans le théorème suivant, qui, de son 
côté, est aussi très facile à démontrer : 

Lorsque la suite (jK/"') lend vers (yl) pour n infini, et lorsque, de plus, 
les quantités a^"' tendent vers des limites O/., de sorte que 



1 im V I al — a/"' j/' - ' = o, 



h -1 



ESSAI DINE TIIÉOIUE (.ÉNKRAI.E. Sj 

41. Outre l'inégalité (a^) et Tégalité (28) qui nous serviront 
dans la suite, nous aurons encore besoin d'un principe de choix; 
il nous permettra de conclure pour les suites de systî^mes (.r^"') 
(|ue nous aurons à envisat^er, l'existence de suites partielles qui 
tendent vers des sjstèmes limites ('). Le voici : 

Etant donnée une suite indéfinie de systèmes (y["^) satisfai- 
sant à /'inégalité (a6), o/t peut en tirer une suite partielle de 
systèmes (yf'^)^ (jJ'/T')' • • ■> tendant vers un système (yl). 

Pour démontrer ce fait, envisageons la suite des quantités j)^',"' 
(/? = 1 , 2, . ..) ; ces quantités restent, en valeur absolue, ^G. 
Donc, d'après Weierstrass, la suite admet une ou plusieurs 
valeurs limites. Soit y* l'une quelconque, par exemple la plus 
petite de ces limites, et soient n\, /?.,, ... une suite d'indices tels 
que la suite JK*"''? >i"^'5 • • • tende vers j'^. De même, la suite j'if'', 
v'.,"'^', ... admettra une ou plusieurs valeurs limites; soitj'* une de 
ces valeurs, et soient /?,, /i.,, ... une suite d'indices lires de la suite 
précédente, de sorte que >'!,"!', jKi,"^', . . . tendent versy^. En conti- 
nuant ce procédé, on va détei'miner des valeurs yl, y^, ... et des 
suites (/^J), (nY), ... qui v correspondent et dont chacune est tirée 
de la précédente. Or, posons 

ni = n'i, n2=^n'l,, nz = n'I, •••; 

la suite (/?/) ainsi définie est contenue, sauf toujours un nombre 
fini de termes, dans chacune des suites {n'-), {'^"i)i - • •• ^^^ consé- 
quent, on a pour tous les A 

i — XI 

ce qu'il fallait démontrer. 

42. Dans certains cas, notre principe de choix ])crmet de conclure 
que la suite {y''^") tend déjà elle-même vers un système limite (yl)- 

(le cas se produit toujours quand le système (yl) est uniquement 



on aura aussi 



olyl= lim Y^^y'r- 



/, - 1 A - 1 



(') \'oir pour ce principe, son liislorique et son rôle en Analyse : Frkciikt, 
Sur quelques points du Calcul fonctionnel. Tliése, Paris, 190'i ( impr. aussi dans 
les Rendiconti del Cir. mat. di Palernio, t. X\II, 190G), Cliap. IV-VII. 



58 ciiAi'iTUi: III. 

(It'terminé par le problème dont on est parli. En efTct. supposons 

([lie pour un certain /. , soit /. ^= /. ( , on n'ait pas 

dans ce cas, les quantités y)" étant bornées dans leur ensemble, 
elles admettraient encore une seconde valeur limite 

et il existerait une suite d'indices /«,. ni., . . . tels que 

Or, notre principe de clioix s'applique aussi à la suite {v'Ii"'''), 
{yT'^)i •••! appliqué à cette suite, il donnerait un système 
limite (7^*)' lequel sérail, rn vertu de (29), distinct de (>-;[.), 
contre l'hypothèse. 

43. Jusqu'ici, en considérant des suites de systèmes (Ta" ) q^'i 
tendent terme à terme vers un système {yl)-, nous n'avons fait 
qu'une seule hypothèse peu reslriclive, savoir que les sommes 

(3o) ^\y/r\" (n = i,2,...) 

/, = ! 

restent bornées dans leur ensemble. E"inéi;alité {2.\) nous assurait 
que la somme 

(3i) ^\yl\" 

ne pouvait surpasser aucune des valeurs limites de la suite (ou). 
Envisageons maintenant le cas où l'on a précisément 

(32) y ijii''='i'" y ir/;"i''- 

/, = ! A = l 

Nous allons démontrer (pic, dans ce cas, on a aussi 



(33) ''"1 yj •>'/'■ 



- y<"> U' =z o. 



k=l 



ESSAI d'une théorie GÉiNlin.VLE. Sg 

Soil î unequaiuilé positive aussi petite qu'on voudra. La série (3 i ) 
étant convergente, on pourra déterminer jn de façon rpie 

>Ma n = oc ^^" 

/, = Hî + 1 '" + 1 

Ayant déterminé m de cette façon, on aura, en vertu de (5), 



lim 



2 i^^-i'' 



2 i^'^'i" 



■iE;/ 



D'autre part, on a 






■r/; 



/" l/^= o: 



car il ne s'agit que d'un nombre fini de termes, dont chacun tend 
vers zéro. Par conséc[uent, 

n= oo ^tm 
 = l 

et comme le premier membre ne dépend pas de la valeur de £, 
il s'annulera |)récisément ( ' ). 



CAS ou n- Y A UNE INFINITE D EQUATIONS. 



44. Après avoir établi les préliminaires nécessaires, étudions 
maintenant le cas où le système (8) se compose d'une infmité dénom- 



(') Inversement, l'équation (33), supposée remplie, entraîne évidemment la 
convergence terme à terme des j'"' vers les y*; mais elle entraînera aussi la rela- 
tion (32), ce qui suit immédiatement de l'inégalité (7 ). Ajoutons que pour/? = 2. 
ce type de convergence {convergence forte) fut introduit par M. llilbert 
{loc. cit., !i° Commuiiication, p. 177); c'est aussi précisément de ce type que 
se sert M. Sclimidt dans ses recherches. Enonçons encore deux théorèmes concei- 
nant la convergence forte; tous les deux se déduisent aisément des raisonnemeuts 
qui précédent. Le premier fut établi pour p = j, par M. Schmidt; le second. 



Oo <:ii\PiTUK iii. 

hiahle cl équalions. Supposons lacondilioii (^ 1 4) remplie ; cl soll M* 
le plus petit des nombres M tels (nic Ion ait (1.4 )• Gela posé, la con- 
dition sera aussi satisfaite par les n premières des équations (8) et 
l'on aura M'"' 'Iz M*. Soit ( x" ) la soXwùon extrémale (n" 38) de ces 
n équations. On a 

(34) y |5-iî"|/^=M(«"'^M*/'. 

/. = ! 

Donc, la suite des systèmes (x'"') (/i = i, 2, . . .) contient une 
suite partielle (^r)"''), (:r^"''), ... tendant vers un système (xl). 
\ln appliquant à ce système la formule (28), on reconnaît immé- 
diatement que les valeurs x*/. satisfont à chacune des équalions (8). 
De plus, la solution ainsi définie du système (8) est une solution 
extrémale au sens du n" 38, car l'inégalité (24) donne 

et, d'autre part, l'inégalité (i3) fournit, pour toute solution (.Ta) 
de (8), 

(35) ^\x,YaM*p. 

Mais il y a plus. Le système (8) n'admet qu'une seule solution 
extrémale. Nous l'avons déjà démontré pour le système lini (j5); 

pour le même cas. par M. lùécliel {Comptes rendus, '24 juin 1907). Voici le 
premier : 

Soit donnée la suite {y)"^) , pour qu'il existe un système {y\) tel que les 
systèmes (i'/;"') tendent fortement vers {yl), il faut et il suffit que 



m z= c 



Le second tliéorome constitue une sorte <le principe de olioix pour la conver- 
gence forte : 

Étant donnée une suite {y/'')'- pour que l'on en puisse tirer une suite par- 
tielle qui convertie fortement, il faut et il suffit que les séries 



Il ri" 



(in \v 
I 

convergent uniformément j)our tous les n. 



ESSAI I) l NK TIIKORIE GENERALE. 



tjl 



le même raisonnement sapplicjne au cas général. Or, (.z^^) est une 
telle solution extrémale; et il en serait de même pour tout autre 
système, déduit, conformément à notre principe de choix, de la 
suite des systèmes (^Â"')* ^^^'' conséquent, d'après le n° -iî^, 



(36) 



ccl.= lim X/"\ 



Mais on peut encore préciser beaucou|j plus la nature de la 
convergence des solutions (^Â"') vers la solution {^l). Il résulte 
de (34), (35) et (36) que 

V|;r;.|/^=M*/'=lim y k/f"!'^; 

/. = l A = 1 

donc, on a, d'après le n° 13, 

lim y\j^i-x,r\"=o. 

«=00 -«^ 

En résumé, nous pouvons énoncer le théorème suivant : 

Pour que le système d'un nombre fini ou dune infinité 
dénomhrable d équations 



2«/ 



l-Xk— Ci 



(i = 



dont les coefficients cnk sont tels que les séries 

/, = ! 

convergent^ admette au moins une solution {jCk) telle que 

/.■=i 

il faut et il sujfit que l'inégalité 













/'- 


n 


/ 


/ 

X n 


^\ 


/' 


2l^,c, 


.m( 


2 


2^ !-'•'«'/. 


) 




/=1 




\k--x 


( = 1 


/ 





ait lieu^ (fuels que soient n et les nombres^ réels ou non, u/. 



(■)•;•. 



CIIAPITHE III. 



En parlicnlier. si M désigne le pins petit des nombres pour 
lesquels la condition est remplie^ il ny a qnune seule solution 
jouissant de la propriété exigée. Au cas d'une infinité d'équa- 
tions, cette solution extrémale {x\) est liée aux solutions extré- 
ma les {:r'^'') das systèmes partiels (lo) par la relation 

lim y |^;._^--"|/'=o. 



4o. Faisons malnlenant une remarque qui pourra peut-être 
suggérer au lecteur de démonlrer aulrement les faits que nous 
venons d'établir. Soit ( J"^ ) la solution extrémale du système (8) 
et ajoutons à ce système Téqualion Xi=:x*', le système ainsi 
modifié admettra évidemment la même solution extrémale. 
En appliquant à ce nouveau système la formule (i4), on sera 
conduit ;'i linéaialité 



•I "2 ''■'' 



î.\r 



— Z_, i-''"'''' 



y, \^i'iih 




Cette inégalité exprime que le point x\ du |)lan complexe doit 
être situé à Tinlérieur ou sur la circonférence du cercle dont 
le centre est ïa,c/ et dont le rayon est donné par le second 
membre de l'inégalité. Donc, le point x\ est contenu dans tous les 
cercles correspondant aux diflerents choix possibles de n et des jj.,. 
et comme la solution extrémale est unique, il n'y a pas d'autre 
point commun à tous ces cercles. 

Le même raisonnement s'applique à chacun des points x\. 

l^e lecteur (pii voudra baser une démonstration sur la propriété 
indiquée de la solution extrémale fera bien de consuller une Note 
de jNI. Helly ('), où il trouvera étudié au même point de vue un 
système d'équations intégrales, correspondant par analogie au 
cas /) = I , que nous considérerons plus loin. Il comient aussi 
d'obserxer que lorsque les données sont réelles, et c'est dans ce 
cas que se place aussi la Note citée, les cercles peuvent être rem- 



(') Hei.i.v, IJeber lincare Funi.lionaloperationen {Sitzungsberichlc cl. A. 
Académie cl. U'iss.. U ien, l. CWI, lia, février 1913). 



ESSAI 1>"lNE TIlKOHIi; généhale. 63 

plitccs |)ar clos segments de l'axe des nombres réels et les considé- 
rations géuinélii(jues nécessaires deviennent heaiicoup plus 
simples. 

LES SYSTÈMES flOMOGKXES. 

40. On j)eut encore se demander si le système (8) possède, 
outre (xl), d'autres solutions admissibles, c'est-à-dire telles que 
S|a7/t|^ converge? (^ette question est équivalente à l'autre si le sys- 
tème homogène 

(3;) ^ai/,XA = o (i = i,2. ...) 



possède, outre Xt = x.2= ■ -. = 0, d'autres solutions admissil)les. 
En effet, de toute solution (a?2) de (3-), on déduira une solution 
{^l* ) = (-^l -i- -^l) de (8); inversement, toute solution (xl*) 
de (8) fournira une solution (xl) = (x*^* — xl); et, d'après (5), 
{xl) et (xi*) sont en même temps admises ou non. 

La discussion du système homogène (3-) se ramène à la 
remarque suivante : Lorsque le système admet une solution (x^) 
distincte de la solution évidente Xf ^ x.,= . . . = o, il faut avoir 
;r)J ^ o pour une ou plusieurs valeurs de l'indice /.-, et en fixant 
l'une de ces valeurs, soit /,- = A|, on peut supposer xl =1. Par 
conséquent, le système qui résulte en ajoutante (3-) l'équation 

a-/,, = I, 

doit remplir, pour une certaine \aleur de 3J, la condition portant 
sur les systèmes non homogènes. L'existence d'un indice /,', et 
d'un nombre M tel que la condition soit remplie est donc néces- 
saire et suffisante pour que (3^) possède, outre o', = .ro ==...=: o, 
une solution admise. 

Le calcul des solutions du système homogène présente, dans le 
cas de /> quelconque, beaucoup d'inconvénients. On s'en rend 
aisément compte en comparant le cas général au cas/> = 2. Je fais 
grâce au lecteur de cette conij^araison ; quant au cas p ^ 2, 
nous y reviendrons dans la suite. En tout cas, on peut former 
quelque sorte de règle mettant en évidence toutes les solutions ; 
cette règle est |iurement théorique dans le cas général, mais 



64 CIIAPITHF III. 

elle se prèle bien nu calcul eflecllf |)oiir ^j = 2. Envisageons le 
système (8), supposons les rt//v fixes el faisons varier les r/; le uombie 
M* pourra être considéré comme fonction des c. 11 est évident cpie 
cette fonction sera bien définie pour tous les systèmes (c,) qui se 
déduisent de (8) en y donnant aux ./• des valeuis telles (|ue ï | X/^ \P 
converge. Donc, en subsliliiaiU dans la fonction 

M'(C,,C2, ...) 

les premiers membres de (8) au lieu des a, il en résulte une fonc- 
tion F (^4, jTo, . . .) des variables X/,-, en nombre infini ; celle fonc- 
tion satisfait à l'inégalité 

j 

/' 
(38) F {xi,Xo, ....)< V|^/j/- 



Le signe = correspond au cas où (a'a) est la solution extrémale 
d'un système tel que (8) avec desc< convenables; le signe <[ corres- 
pond au cas où il ne l'est pas. Pour (|ue le système homogène (3'j) 
n'ait pas d'autre solution admissible que .r, = j:'2=...^o,il faut 
et il suffit que tous les systèmes jt/; soient de la |)remière catégorie, 
c'est-à-dire que, dans (-^>8), le signe =: convienne sans exception. 
Dans le cas contraire, le système (•>") admet aussi des solutions dis- 
tinctes de :ri := .r2= . . . ^ o. En tout cas, la totalité c/es solutions 
de (3^) est donnée par C équation unique 

F(a;i, j".), . . .; = o. 



LE CAS p — l. \.K THÉORIE DE M. SCIIMIDT ( ' ). 

47. Passons maintenant au cas parlicidier le j)lus important, 
celui où/7 = 2, et voyons ce (pi'on peut tirer, pour ce cas parti- 
culier, de nos résultats généraux. 



(') Cf. outre les travaux indiqués fie MM. HilherL el Sclirnicit : G. Kowalewski, 
Einfiihrung in die Determinaiilcntlieorie. Leipzig, 1909, p. 4o7-'|JÎ". Bùcin:n and 
Buand, On linear équations wiili an infinité niunber of variables {.Innals 
of Malhematics, 2. séries, vol. \I1I, 1912, p. iG^-iSG). 



ESSAI O'INE TIIKOUIE (iKNKK AI.K. 65 

D'après (21), l<;s x'^'^ sont, dans le cas envisagé, de la forme 

n n n 

i = 1 / = 1 i = \ 

Les Vi se délerminent par les équations 
« 
(39) 2 atj i-i = Cj (y = I , -i, n ), 

/ = i 
OÙ 

/.• = I 

Ces équations s'obtiennent en remplaçant dans (8) les Xk par 
les expressions I]t',«/A. (Complétons maintenant le système (39) 
en y ajoutant l'équation 

i = l 

et chassons les v: on obtient 



(4o) 



x\"'= — 



a,,/ o 



'■ni 



De plus, on a 

/. = 1 A-=:1 (=1 \ A-=l 

Donc les t/ satisfont à 1 équation 

n 






(') « clcsigrie la (jUurUilé conjuguée à l'imaginaire a. 
R. 



66 CIIAI'ITUE 111. 

En ajoiilanl celle équaliou an sjslème (3;)) cl en cliassaiil les r, 
il vient 



(40 



M("'' = — 



'- /; Il <- Il 



C\ 



( )r, Iherniilien 



X,M 



2a/yc/iv=2 ^«'^•'■' 



i,i=\ 



élant évidemment positif, le déterminant qui (igiire au dénomina- 
teur, est réel et positif. Bien entendu, on suppose indépend;iiils 
les premiers membres des écjuations (i5); ce qui revienl à suppo- 
ser cpie le déterminant \y.ii,\y^o. Dans le cas contraire, les for- 
mules (4o), (4 i) n'auront j)as de sens. Les modifications néces- 
saires dans ce cas appartiennent à la théorie ordinaire des 
équations linéaires; nous ninsislons pas sur ce point. 

Les solutions extrémales [JC^^") des systèmes partiels tendent, 
comme dans le cas général, vers la solution extrémale {xD du 
système total, et cela de façon que 



lim 



^1"= 



La formule ( j i) permet aussi (Ténoneer la condition de résolu- 
bilité sous une forme où ne nguicnl plus les indéterminées [j.. 
Envisageons la (luiinlité M^"' comme fonction des c/. Pour chaque 
svstème (c/), la suite M^'^ j:M^-^<AL*^;^ . . . tend vers une valeur 
positive déterminée, finie ou infinie : M*. Ainsi, la formule 



(4-2) M*(c,.Co, ...) = lim 



•11 



'11 



wii 



i'i 



"^1 II ■ • ■ '^nii ''il 
C\ . ■ ■ <'ii " 



«1 



ESSAI d'une TUliORIE GÉNÉRALE. 67 

définit une foncllon des variables c/ en nombre infini. Cela étant, 
la condition nécessaire et sii()îsante pour que le système (8) 
admette une solution {xk) telle cjue 



(43) 



3"/, 



IMS 



est fournie par V inégalité 

M*(c,,C2, ...)^M. 

Tous ces détails portent sur le cas général où les premiers 
membres sont supposés être indépendants* Mais la fonction 
jNr(C|, Co, ...) existe aussi dans le cas contraire; seulement, pour 
calculer celte fonction, il faudrait apporter à la méthode précé- 
dente quelques modifications légères. 

48. Pour pousser plus loin Tétude des systèmes (8), introduisons 
dans (42)- ail lie» des c/, les premiers membres de (8), et, au lieu 
des Ci, les expressions conjuguées. Il en résultera l'expression que 
nous avons désignée, dans le cas général, par F (a?i, .To, ...) (n" 40). 
Cette fonction F est la racine carrée de Thermitien à une infinité de 
variables 



(44) 



2 Xjl^XjXl, (A/y = Ay/,), 



/./. = I 



dont les coefficients se calculent, dans le cas où les premiers 
membres sont indépendants, moyennant la formule 



(4i) 



Ay/. =-lii 



«1/, 



'•/il 



«ly 



(I n I. 



O 



Xi 



^1« 



•■uï 



L'hermitien (44) reste, pour tout système de valeurs {xh), 
'^'^\xk\-- Le signe = n'a lieu que si {xh) est la solution exlré- 
male d'un svslème tel que (8). Les solutions du système homo- 



68 CHAPITRE III. 

gène 

go 

2^ (tikXi, = o ( «■ = I , -i, . . . ) 

sont caractérisées par le lait cjue riierniitien (44) s'annule pour 
ces svslèmes (^a-) et ne s'annule pas pour les autres. La condition 
pour que le système homogène n'admette pas de solution [sauf la 

solution évidente (o)], consiste en ce que Ay7,= suivant (|ue j ~ /.". 

\ oici encore une interprétation simple des coefficients AyA. 
Envisageons, pour un indice y donné, le système 

00 

(46) ^«!A.r/,= a,-; (i = i,2, ...). 

Ce système atlmcl évidemment la solution Xk^= pour /»• ^ j . 

D'autre part, pour 'calculer la solution extrémale du système, on 
n'a qu'à remplacer dans la formule (4o) les Ci par les «/y et à 
faire croître n indéfiniment ; la comparaison avec {'\'o) fournit 

X/,= Ay/, {k = \.'l, . . .). 

C'est la solution extrémale cherchée du système (46). La difle- 
rence des deux solutions de(46): Ay,, Ay^, ..., A// — i, ... satisfait 
donc au système homogène. De cette façon, on fait correspondre 
à chaque valeur dey une solution du système homogène. 

Dune façon plus générale, soit (ça) un système quelconque de 
valeurs ça telles que ï| ç/, [■ converge. Le système d'équations 

(4;) ^«/A'2:/.=2«/7.ç/.- (t = I, 2, . . .) 

/.• = 1 /, = 1 

admet évidemment la solution Xk^=Zk{lc = 1,2, ...). Evaluons 
maintenant la solutit)n extrémale du système (47)- JLes n \n-e- 
mières des équations (47) admettent la solution extrémale 



^u=^^j>.^J (^ = 1,2,...); 
nous y désignons par Ay'^ la n"'""' valeur approchée de Ay/,, qui 



ESSAI d'une THliORIE GKNÉUALli:. 69 

figure dans (45). Mais x^ = AjC = 1;;", x. = A.%' = A''/', ... est 
la solution exiréinale des /i premières des équations (46) et, d'autre 

part, ces écpialioiis admettent aussi la solution .r^ = jiourA- Zj\ 
il en suit que 



Par conséquent, on pourra appliquer la formule ( 28 ); on n'aura 
qu'à remplacer les cih par les çy, les y]. |)ar les Ay/, et les j'^"* |>ar 
les Aj^\ et il viendra l'expression cherchée de la solution extré- 
male 

a,l = \\n^x<i^ = lim V Ayi: ïy = Y Ay, iy. 

7=1 /=1 

La différence des deux solutions trouvées de (47) satisfait au 
système homogène. Elle en fournit la solution générale; en effet, 
si (vC^.) en est solution, il suffira de choisir q/(^ — xl', alors le 
système (47) deviendra liomogène, admettra ;r, = ^'2= . . . = o 
comme solution extrémale, et notre procédé conduira à la solu- 
tion (xl). 

Donc, les formules 

^/, = ;/, -H^ AyA-iy ( /t = I , •^, ... ; 

comprennent toutes les solutions du système homogène. On peut 
aussi exprimer ce résultat en disant que toute solution du système 
homogfène est la combinaison linéaire dun nombre fini ou d'une 
infinité des solutions particulières Ay/, ..., Ayy — i, ... (y ^ i , 2, ...), 
les multiplicateurs ^j étant assujettis à la condition que S|^y|- 
converge. 

•49. Tous ces calculs se simplifient beaucoup dans le cas parti- 
culier où 

/. = 1 
suivant que i ^ /); ce que nous exprimons avec MM. Hilher et 



70 CHAPITRE m. 

Schmidt en disant f[ue les formes linéaires 



^rt/A-ar/, (t = I, 2, . ..) 



/, = ! 



constiluenl un système orthogonal et norme. 
Les formules (4o), (4') donnent |j()iir ce cas 

/i n 

Par conséquent, la condition, pour ([ue le système admetlc une 
solution {xk) telle que (4'^»)» consiste en ce que 

; = 1 

et la solution extrémale (^^.) est fournie par 

( = 1 

Pour cette solution on a 

Les coefficients de l'Iiermitien (44) ^o\\\. 

(48) Ay/, =2 «"y «=«/•• 

Si, dans le cas posé, le système homogène n'admet pas d'aulre 
solution que ic, = ^^ = .. .= o, nous disons que le système des pre- 
miers membres est complet; car ce fait équivaut;! ce qu'il n'existe 
pas de forme linéaire qui serait orlliogonale à la fois à tous les 
premiers membres. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit, 

comme nous l'avons vu, que A/y;=: poury 3 ^- 1^ après l'expres- 
sion (48) des AyVf, cette condition peut être énoncé en disant que 



ESSAI Dl.NE riIKOlUIC GKNERAI.K. 7I 

les formes transposées 

^a//,j-/ (/.- = I, '2, ...) 

constiliienl aussi un svstrine orlliogonal el norme. Cette façon 
clexprimer la condition mérite d'attention à cause de l'analogie 
évidente avec le cas bien connu d'un système orthogonal et norme 
de n formes linéaires à n variables. Dans ce cas, le fait que le 
système est complet résulte immédiatement de ce qu'il y a le même 
nombre de formes que de variables; dans le cas d'une infinité de 
variables, il n'y a pas de raison analogue. 

Tous ces résultats concernant les systèmes orthogonaux, s'éta- 
blissent aussi directement d'une façon très simple. Nous ne 
tenons pas à en donner la démonstration directe ; ce ne serait 
c|ue répéter ra])idement, avec des modifications évidentes, les rai- 
sonnements faits dans le cas général. 

50. Le cas particulier que nous venons de considérer fut discuté 
pour la première fois par M. Hilbert; il y était conduit par un 
ordre d'idées dont nous parlerons plus tard. M. Schmidt a étudié 
ce cas particulier d'une façon plus détaillée; de plus, il a réussi à 
y ramener le cas général yj) = 2 (' ). Dans sa méthode, le cas parti- 
culier considéré joue un rôle très important; c'est à ce cas parti- 
culier qu'il ramène le cas général, et cela en appliquant un procédé 
très simple : \ orthogonalisation. Ce procédé consiste à remplacer 
le système (8 ) par un svstème équivalent 

( 49 ) 2 fiikXk =di ( j = 1 , 2, . . . ) 

dont les premiers membres sont, dune pail, des combinaisons 
linéaires de ceux des équations (8), et, d'autre part, ils forment un 
système orthogonal et norme. D'une façon plus précise, la n""""^ 
des équations (49) est une combinaison linéaire des n premières 
équations (8). Pour qu'une telle réduction soit possible, il faut 
que les équations fS) (ou plutôt tout nombre fini de ces équations) 

(') C/ 11- Mémoire cité au n" 32. 



ClIMMTRi: III. 



soient linéaircinenl indépendanlcs ; or. nous avons vu que cette 
restriction est seulement a|iparent('. I^es multiplicateurs et alors 
les quantités bik et di s'obtiennent aisément. Pour faciliter le 
calcul, nous formerons d ahonl un svstème intermédiaire 



(5o) 



^^/7.^/. = d'k 



{i 



\ ,x. 



en exigeant seulement rortliogonalilé des premiers membres ; })Our 
en passer au svstème norme ( ic)), on aura à di\iser cluKpie équa- 
tion par 



2 1 l'u 

L /. = 1 



Les données d'un tel système (5o) se déterminent, à partir des 
équations linéaires qui expriment l'ortliogonalilé, j)ar les formules 



b' 



^«1 



««/, 



d„ = 



'■^i II 


o 


^/iri 


1 


hn 


o 



2(11 



^1;/ 



Ajoutons que les jjremiers membres des équations (49) ^e cal- 
culent aussi à l'aide des formules 



^b,a.x, ' = ^{1^% 



^JV')^j^>. 



{n =1, 2, ...). 



/.k=i 



Cela revient au fait évident que deux systèmes équivalents condui- 
sent toujours au même liermitieD (44)- 

Ayant transformé de cette façon le système (8) dans le système de 
type particulier (49)? ^^ discussion et la résolution de ce nouveau 
système s'abordent, comme nous l'avons \u, par des formules très 
simples. Or, en subsliluant dans ces formules, au lieu des b et des ci, 
leurs expressions moyennant les a et les c, on retrouvera les for- 
mules établies plus haut par une autre métbode. 

Mais c'est seulement l'idée piincipale de l'œuvre de M. Sclnnidt 



ESSAI n'i NE TiiKORiii: gknékvle. 73 

dont nous venons de parler; quant aux détails, 11 nous faut ren- 
voyer le lecteur au Mémoire original. Une des caractéristiques les 
plus intéressantes de ce .\Jémoire est de voir et de parler comme s'il 
s'agissait de la Géométrie. Sup|)Osons, pour fixer les idées, qu'il 
ne s'agisse que des quantités réelles. Interprétons les systèmes 
(ak) ou (x/i) lorsque S<7^ ou ^.x'j. converge, comme des vecteurs 
dans l'espace à une infinité de dimensions. Etant donné un nombre 
fini ou une infinité de vecteurs, les vecteurs orthogonaux à chacun 
d'eux constituent une certaine variété linéaire, et l'ensemble des 
vecteurs orthogonaux à cette dernière variété sera la plus petite 
variété linéaire contenant les vecteurs donnés. Par suite, quand il 
s'agit de résoudre un système homogène, on n'aura qu'à envisager 
les coefficients comme des coordonnées de vecteurs, la variété 
orthogonale à ces vecteurs représentera la totalité des solutions. 
Les systèmes non homogènes peuvent être rendus homogènes en 
introduisant une inconnue auxiliaire. Enfin, quant à l'orthogona- 
lisation, ce procédé revient en principe à remplacer les systèmes 
des vecteurs donnés par un système de vecteurs orthogonaux 1 un 
à l'autre, et cela de sorte que les deux systèmes déterminent la 
même variété linéaire. 

LES CAS P = l ET /> ^- 3C. 

ol. Envisageons maintenant le cas p = i . Ce cas n'était pas com- 
pris dans nos considérations précédentes qui portaient seulement 
sur/? > I, mais il y entre comme cas limite. 

Dans le cas envisagé, il s'agit de déterminer une solution (xk) 
du svslème (8), et cela de sorte que la série 

(5i) ^i-^^' 

converge. Quant aux données, nous faisons l'hypothèse que. pour 

tous les /, on ait 

lim a,/, = o. 

En voici les raisons. Si l'on exigeait que la série 
(52) /^ak^A 

A = l 



74 CIIAIMTIIK III. 

converge pour loiil syslèine (.r>i) tel f|ue (5i) existe, il siiffiiait 
(le supposer que les quantités I rt/; I (Â- =r i, 2, ,..) restent bornées 
dans leur ensemble. Mais nous aurons encore besoin, tout comme 
plus haut, f|ue celte série converge uniformément pour tous les 
svstèmes {xk) tels que 

h — i 

Donc, en particulier, la convergence devra être uniforme pour 
tous les sj'stèmes tels que l'un des a"/,:=G, les autres o. Substi- 
tuons ces valeurs successivement dans l'expression (oa); les restes 
/<'^"'*' seront respectivement 

o. .... o, Ga„+i, Ga„^-2, .... 

Pour (jue la roa\ ergencc soit uniforme, il laiil et il suffit (|iie. 
pour/î— xx, ces restes tendent uniformément vers zéro. Ce f[iu 
revient à supposer, comme nous venons de le faire, que 

(-</,—>- o. 

Cette restriction posée, luus les raisonnements auxiliaires, dont 
nous nous sommes servis dans le cas général, s'étendent, mutalis 
inutandis. au cas /> = ( . 



o2. Je dis (ju' une condition nécessaire et suffisante pour que 
le système (S) admette une solution (x/,) telle que 



(53) 



y^\x,\<^y\, 



consiste en ce que Vinéaalité 



(54j 



^V-i^^i 



i M X borne sup. de- 

/. -:l,-2.... 



^l-^<«//. 



ait lieu quels que soient n et les <j.i. 

La condition est évidemment nécessaire. Montrons (|u'elle est 
aussi siiKisante. Il suffira d'envisager le cas de n équations, le 
passage au cas dune innnili' (r(''(|ii;ili()ns se faisant loiil coininc 
pour /j >■ I . 



ESSAI I»l NK TIlÉOnit: GÉNÉRALE. 73 

Cela étant, on conclut imniédiatementclerhypothèse faite : «,a— ^-o 
([Il il existe un nombre ni tri que la valeur de 



borne sup. de< 



2_i l^' "'■' 



ne dépend que des indices A'^ m. Ce fait permet de remplacer notre 
système contenant une infinité d'inconnues |)ar un autre km incon- 
nues 



(55) 



aii,Ti, = Ci 



(t = I, '2, . . ., «). 



En elTet, supposons (|ue le système (55) admette une solution 
(.rA-) telle (]ue 



2l-^/l = M; 



alors, en posant x„i_^\^= Xni+>^=----'=- Ci-, o" aura une solution du 
système original, satisfaisant à la condition (53). Or, en vertu de 
la propriété indiquée du nombre w, la condition (54) est remplie 
pour le sxstème réduit (56). Daulre part, on a évidemment 



borne sup. des 

A=1.2 m 









~ 


n 






m 


1 


[Mail. 


= 


2 


i = 






_/. = ! 



!/'-. 



V-iO-ik 






pour tous les /> > i . Par consécpient, les données du système (55) 
satisfont pour tous les/? aux inégalités 



II 






;// 


1 


[J-i c, 


= M 


2 











7^ t^/ «;•/.■ 









Mais c'est précisément la condition [)our que le système (55) 
admette une solution {x')"') telle que 



(56) 



^\xr\"=^\" 



Par conséquent, il existe pour chaque valeur de p > i une solu- 



76 



(iiAPirni: m. 



lion {jc'if ) telle que (5(i) ; |>oiir fixer les idées, on j)eiil prendre par 
exemple les solutions extréniales. 

Les quantités | :r^'' ] = ^J^ sont bornées dans leur ensemble. Donc 
il existe une suite d'exposants /j,, /?o, ... tendant vers i et telle 
(pie les limites 

existent. Comme tous les systèmes (.2:^);.'") satisfont aux équations 
(55), le système limite i^x*,^ y satisfera aussi. De |)lus. on ;i 



'S\xl\= lim V I r'/.'-' l''.' 1 lim M/' = .M. 

La suffisance de la condition est donc démontrée. 

53. Un second cas limite correspond à p-^x. On exige de la 
solution i^Xk) beaucoup moins que dans les cas déjà traités ; on 
exige seulement que tes valeurs (xh) soient bornées dans leur 
ensemble. Quant aux données, on fait la seule hypothèse que les 
premiers membres des équations (8) convergent pour tout 
système borné [xh)- Cela revient à supposer que toutes les 

\ aih (f' = 1 , 2, . . . ) conveigent absolument. 



séries 



Je dis que la condition nécessaire et suffisante pour que le 
système (8) admette une solution (xk) telle que Von ait. pour 
tous les k, \xk\'^M, consiste en ce que V inégalité 



(^7) 



2l-^'^"' 



m2 



2^ [J-i a,/, 



ait lieu quels que soient n et tes u./. 

Le passage d'un nombre fini d'équations à une infinité se faisant 
presque tout comme dans les autres cas, nous pourrons nous bor- 
ner à étudier le cas de n équations. 

La condition est évidemment nécessaire. Pour montrer qu'elle 
est aussi suffisante, supposons qu'elle soit remplie et supposons de 
plus (nous savons que cela ne restreint pas la généralité) qu'il 
n'existe aucune lelation linéaire entre les premiers membres des 



ESSAI DLNF, THÉORIE GÉXKRALE. 

é(juations. Cela élanl, on voit aisément que le rapport 

n I 

7, 1-^/'^'/. 



77 



l_A = l 



/^[J-jan. 



r 



tend A'crs i poury> — > oc et cela uniformément pour tout choix des u 

L'inégalité ( 5^) peut donc être remplacée par 

/'-■ 
/' 



V-iCi 



(M 



V 

_ A- =■! 



/ = 1 



où z désigne une quantité positive choisie si petite qu'on veut 
et/) une quantité positive suffisamment grande. Mais l'inégalité 
ainsi modifiée exprime précisément la condition pour que notre 
système d'équations admette une solution (xk) telle que 



2i3^^|/^l(M+c)/'. 



Soit (^/ ) une telle solution ; on aura évidemment, pour tous 
les /r, I^I^^I^M + î. En faisant tendre z vers zéro, on parvient à 
définir une suite indéfinie de solutions (^^''). Puis, en appliquant 
un procédé analogue à celui du n" 41, on déterminera une suite 
partielle, de sorte que pour tous les A", x'^' tend vers une limite :r^. 
Alors, le système (^2) donnera la solution exigée. 

Il convient encore d'observer que, tandis que, dans le cas géné- 
ral p > I , la solution exlrémale était toujours unique, il n'en sera 
pas de même dans les deux cas limites que nous venons de consi- 
dérer. On se rend aisément compte des raisons d'une telle difie- 
rence. Par exemple, pour le cas /? = i , cela revient au fait que, 
dans l'inégalité 1 1 «a H- 6a | ^ ï | «a | -t- - | bk |, le signe = peut avoir 
lieu sans que tous, les rapports cik : b^ soient égaux entre eux. 



CHAPITUE IV. 



lA TlIKOniE DES SUBSTITUTIONS LINKMIŒS 
A UNE INITNITÉ DE VARIABLES. 



LES SUBSTITUTIONS LINKAIRES. 

54. Xous venons de former des critères ])orlaiil sur des 
classes très étendues de systèmes d'équations ; il nous reste à 
les appliquer à des cas de plus en plus particuliers, en diri- 
geant notre attention sur les détails. Pour fixer les idées, nous 

ne nous occuperons que du cas p = = 2 cpii est le plus im- 
portant; mais je me iiàte d'observer ([ue la plupart des raisonne- 
ments qui suivent s'étendent facilement au cas général p^i el 
aussi aux deux cas limites. 

Considérons V espace hilbej'tien; nous y entendons l'ensemble 
des systèmes (j^a) tels que S |^a|- converge. Nous étudierons les 
substitutions linéaires à une infinité de variables, portant sur 1 es- 
pace hilbertien. 

\ oici ce que nous entendons par substitulion linéaire. A 
chaque élément {xk) de notre espace on fait corres|)ondre (sui- 
vant une certaine loi) un élément bien déterminé {oc'i^). On su])- 
pose que la correspondance soit disliibuti^e^ c'est-à-dire quelle 
fasse correspondre à Télément (cxh) Télément {cx\) et à l'élément 
(xk-\-yk) l'élément (x'f.-^y\). En Algèbre, où il ne s'agit que d'un 
nombre fini de variables, la dislii])ulivité de la correspondance 
entraine aussi sa continuité. Dans notre cas, il faut supposer 
explicitement la conlinuité de la correspondance, c'est-à-dire 
(uiil faut exiger (pic, lorscpTune suitf délémcuts tend vers un élé- 
inent limite, la suite correspondante tende vers l'élément qui cor- 
respond à cet élément limite. Ce sont ces correspondances. 



Tiiiioniii: DKS SI nsTiTiTioN^; i,im:airi:s a uni-: infimti: de vAiUAnLES. 79 

(lislrlhiilives el continues à la fois, (jiio nous a|)|)clleioiis substitu- 
tion linéaire. 

00. Rappelons ce que nous avons entendu par l'expression : la 
suite des élénicnls (:rj^")(/i = 1 , 2, ...) tend vers l'élément [xk)- 
Nous y avons résumé les deux laits suivants : 1° la suite des x'^'^' 

tend vers Xki et cela pour tous les k\ 2" les quantités 2. I ^H \' res- 

tent bornées dans leur ensemble (n" 40). En utilisant celte défini- 
tion, on démontre aisément que la continuité entiaîne une autre 
propriété importante des substitutions linéaires, savoir celle d'être 
bornée. C'est-à-dire, lorsque la substitution est continue, il existe 
une constante |)ositive M telle que 



(I) 2'^^!'- ^''2 



XI, 



/, = 1 



En effet, dans le cas contraire, il existerait une suite d'élé- 
ments {x^' ) et une suite correspondante d'éléments (^^"'), de sorte 
que les sommes S | .2"];'" |- restent bornées dans leur ensemble, tandis 
que les sommes ^\x)'P' \- croissent, pour n infini, au delà de toute 
limite. Delà suite (,r^"), on pourrait tirer, d'après notre principe do 
choix (n" il), une suite partielle tendant vers un élément limite ; la 
suite qui y correspond, ne jouissant pas de la pro|>riété 2", ne 
j)uurrail tendre vers aucun élément limite. Donc, la continuité de 
la substitution serait en défaut. 

Désign(ms par M^ la plus petite des valeurs M qui satisfait à (1). 
Nous appellerons la constante M^ la borne de la substitution A. 

56. Voici une autre conséquence immédiate de la définition. 
Supposons que la suite (a?),"') tende vers l'élément {xu) d'une façon 
jorlc^ c'est-à-dire de sorte que 

pour n—r-Ji. \a\ substitution étant distribulive, elle fait corres- 
p(jiidre aux éléments ( jta — Xy,") les éléments (.r^. — x'i' ). Donc(i ) 



fournira 



ce (lui donne 



r.iiAPniΠIV. 



2^1— ^rr^^i^2k/- 



X/. — cr)" 



Rn particulier, considérons les réduites de l'élénient {jCk). Nous 
entendons par /i"^'"^ réduite ce que devient (^a) lors(|u'on y rem- 
place les Xii. ei partir de Xn+\i par des zéros. Les réduites de {Xk) 
tendent dune façon forte vers {x^)'. par conséquent. 



(3) 



2 ^i- -2 ""'■''• 



iTA 



avec — > et à plus forte raison 



(4) 



-'=1 



an, XI; 



{i = i,i. 



■)• 



Nous y avons désigné par {ctik) I élément qui correspond, par 
notre substitution, a I élément .ry= pour / _ i. 

Nous voilà arrivés à l'expression analytique des substitutions 
linéaires, fournie par les formules (3) ou (4). A toute substitution 
linéaire correspond un tableau {oik) lei que les séries ZaïkXk 
convergent |)Our tous les / et pour lous les éléments [xk) de l'es- 
pace hilberlien. De plus, ce tableau satisfait à l'inégalité 



(5) 



2 y. ^''■•^/•■ 



M221l^''■l'• 



Inversement, lors(pi'un tableau à double entrée («//;) satisfait, 
pour une certaine valeur de M et pour tous les éléments {xk) de 
notre espace, à l'inégalité (5), ce tableau donne naissance à une 
substitution linéaire, définie par les formules (4)- En elVet, la cor- 
respondance définie par ces formules est évidemment distribulive 
et bornée ; pour en conclure la continuité, il suffît de remarquer 
que les formes linéaires '^a/kXk sont des fonctions continues de 
l'élément variable (.Ta), ce que nous avons démontré dans le Cba- 
pitre précédent [n" il). 



TIIKOUIE DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES A UNE INFINITÉ DE VAIUABLES. Si 

l^'inégalité (5), supposée remj)lle pour lout élémcnl (•Th)-, équi- 
vaut évidemment ;"i l'autre 



2 



7, "if' 



Xk 



k = l 



(pie Ion suppose remplie pour tout choix des entiers m et n et des 
quiintités .r,, . . . , x„. De là la règle suivante : 

Ponrque le tableau considéré i^aik) donne lieu à une subs- 
titution linéaire A (elle que M^:^ M, il faut et il suffit que V iné- 
galité 



y^ 2 ""'■''■ 



Xk 



k= 1 



^/, - 



ait lieu pour tout choix des entiers m, n et des quantités 
X { j ■ • • 1 JC II . 

o7. 11 convient ici d'indicfuer un fait très remarquable, décou- 
vert par MM. Hellinger et Tœplilz. Ce fait consiste en ce que, au 
lieu d'admettre V inégalité (5), il suffit de supposer que le pre- 
mier membre de (5) converge pour chaque {x^). L'existence 
d'une constante finie M^ découle de cette dernière hypothèse par 
un raisonnement très délicat. Les auteurs ont énoncé leur théo- 
rème sous une forme un peu différente ; ils l'attachent à la notion 
de forme bilinéaire que nous rencontrerons dans le paragraphe 
suivant ( ' ). 



(') Hkllinger u. Tœpmtz, Grinidlagen filr eine Tlieorie der unendlichen 
Matrizen {Math. Anna/en, t. LXI\, p. aSg-Soo). Les auteurs considèrent l'ex- 
pression 



I ( I "^ 



ils supposent qu'elle converge pour les élcnienls (x^), {y^) de l'espace hilberlien. 
D'après un théorème des mêmes auteurs, qui est bien plus simple et dont nous 
avons parlé dans le Chapitre précédent ( n" 35), l'hypothèse que la série 26,jk 
converge pour tout élément (j',), entraîne la convergence de 2 1 6; [-. Cette 
remarque permet de ramener l'hypothèso des auteurs à celle du texte. 

Voi<i en quelques mots l'idée de la démonstration : contrairement au théorème 

R. 6 



8-2 



c;iiu'iTKt; IV. 



Ajoulons (jiroii poiuroil iriiiplacci', dans la d<Tinllion des subs- 
lltiilions linéaires, la première délinilion de la conlinuilé dont nous 
nous sommes servis, par une autre fondée sur la notion de conver- 
i^ence /or/e. La correspondance serait dite continue si toutes les 
lois que la suite des éléments [jc'^") tend vers (xk) d'une façon 
forte [c'esl-à-dire comme (2)], la suite des (^|^"'') tend vers (5^'^) de 
la même façon. C'est seulement la déllnition c|ui sera modifiée : 
les deux définitions étant é(piivalentes. la notion elle-même restera 
tout à fait intacte. 



LES FORMES KILINÉURES ET I.ES SIBSTITLTIONS TRANSPOSEES. 

08. C'est à M. Jlilberl que l'on doit la théorie des tableaux (///a) 
tels que nous les envisageons. Son point de déjiart diffère du 
nôtre au point de vue formel. Il considère la foiine infinie bili- 



à démontrer, on suppose que la valeur de l"ex pression 



!"■ 



y 



puisse surpasser loulc borne finie. S'il en élait ainsi, les expressions analogues, 
dans lesquelles la sommation ne commence qu'à partir de / = m. I, — n, jouiraienl 
de la même propriété. 

D'autre pari, si pour un élément déterminé {x^),on n'étend la sommation que 
jusqu'à des indices /n', n' assez grands, la valeur de l'expression n'en sera pas sen- 
siblement altérée. Grâce à ces faits, on peut déterminer successivement les indices 

i^, /,-, ; fj, 1;^ ; ... et les quantités .r, , . . . , .ta, : ^/,, : de sorte que X | x^ |- 

converge, que la valeur de l'expression 

Av- > 
croisse rapidement pour r infini et que, d'autre part, la valeur de l'expression 



2 «,r^^ 



TIIKORIK -DES SLBSTITL TIONS LIXKAIRES X LNE INFINITÉ DE VARIABLES. 83 

néaire 

( 6 ) A ( r , jK ) = 2 «,/, XAy, ; 

et il suppose (|ue les valeurs absolues des réduites 

n 

formées pour tous les ii et tous les éléments (xa), (j)^a) tels que 

(7) 2'^^''='' 2'^'^i'='- 

/ = 1 /, = ! 

restent inférieures à une constante positive M. On en déduit 
aisément la convergence des séries (4) et l'inégalité (5); par suite, 
les tableaux de M. Hilbert définissent des substitutions linéaires. 
Inversement, lorsqu'on accepte notre point de départ, toute 
substitution linéaire conduit, d'après l'analyse faite au n° 56, 
à un tableau («/a) l^ien déterminé; l'inégalité (5), liée à celle de 
Cauchj-Lagrange, nous assure que l'on se trouve dans l'hypothèse 

ne dépende sensililemenl que des termes d'indices A^+i, ..., /'„^.i. Alors, pour 
ce s^'stème particulier (x^), le premier membre de (5) diverge. 

Observons que ce raisonnement est en relation très intime avec un raisonne- 
ment encore peu connu, de M. Lebesgue, qui rattache l'existence de fonctions 
continues périodiques, de période 2 - et dont la série de Fourier diverge ou ne 
converge pas uniformément au fait suivant : La limite supérieure de la valeur 
absolue des n""" sommes partielles des séries de Fourier des fonctions f (x) 
continues de période 2 - et telles que l'on ait constamment |/ | ^ i, croît indé- 
finiment avec n [Sur la divergence et convergence non uniforme des séries de 
Fourier {Comptes rendus, igoS, a» sem., p. S75-877); Leçons sur les séries trigo- 
nométriques, p. 86]. L'idée de M. Lebesgue vient d'être approfondie par M. Fejcr; 
elle fut aussi étendue à des problèmes analogues par M. Haar et par .^L Lebesgue 
lui-même. Cf. Haar. Zur Théorie der orthogonalen. Funktionensysteme. Thèse, 
Gottingen, 1909 (réimpr. Math. Annalen, t. L\IX, p. 3H1-371); Lebesgue, 5m/; 
les intégrales singulières {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 
i" série, t. I, 1910. p. 25-117); Fejér, Sur les singularités de la série de Fou- 
rier des fonctions continues {Annales de l'École Aorniale, 3" série, t. XWIII, 
1911, p. G3-io4), où . se trouve aussi une liste des travaux antérieurs. Ces 
recherches n'appartiennent pas au sujet de notre Ouvrage, niais nous les avons 
mentionnées en pensant que leur étude suggérera au lecteur d'appliquer la méthode 
de MM. Hellinger et Tieplitz à beaucoup de problèmes rentrant dans notre 
théorie, et, en particulier, d'étendre leur théorème à tous les cas p^i. 



84 ciiaphhe iv. 

de M. Hilbeit. Ces deux iiu'{j;alilés nous assurent en inènie lenips 
de la convergence de 



( /_^0,7,J^A 



V 

/=1 ~W. = 1 



yi 



et de ce que cette somme reste, en valeur absolue, SM. I.a for- 
mule (6) et l'inégalité de Cauchj-Lagrange donnent 



= V/ V 



D'une façon plus générale, l'inégalllé 

m -h p n ^ tj m n 

; — 1 Â- — 1 / = 1 /. = I 





»i 


"^<l 




m + p n-h(/ 


< 


1 


j 2 ^''f^^'^y' 


-t- 


Z 2«//.-^v.7/ 




i — 






( =: ;h -t- 1 A = 1 


/ 


' « + '/ yi 


/ '"+/' \-^ 


^M j 


2 i-'-O- 


-m(2i-1' 




. A- = « + 1 / 


\ / = «i -M / 


montre que la limite 






?» 


n 


(9) 




ii.n y 


S 





existe et qu'elle ne dépend pas de la façon dont m et n croissent 
vers l'infini. Lorsque (^a) t^l (J'a) sont tels que (7), la valeur 
numérique de (9)- M. 

Revenons à la formule plus particulière (8). On peut linler- 
préter comme il suit : le tableau (a/A) définit, outre la substi- 
tution (4), une seconde substitution linéaire 

00 

(10) j'; = Va,7,j7; 

les deux substitutions sont liées entre elles par la relation 



Oi) 



2 ^' ->''■= 2 '^'•■^'^■' 
/ = 1 />=[ 



TIIKORli: DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES A UNK INFIXITÉ 1)15 VARIABLES. S5 

Nous (lirons que les snh-^llliilions (4) et (lo) sont les Iranspo- 
sées Wme de lautre. l^our abréger, nous désignerons la substitu- 
tion (4) l^ar A el sa transposée (lo) par J5l. 

Enfin, quant au\ bornes M^ et M^ qui correspondent aux subs- 
titutions A et -?t, on a évidemment 



l'inversion des SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. 

o9. Tout comme en Algèbre, on nomme produit de deux 
substitutions linéaires A, lî et Ton désigne par AB la substitution 
évidemment linéaire qui résulte des deux premières, effectuées 
successivement : 

AB(xk) = A[B(T//)]. 

Ce produit dépend, en général, de l'ordre des facteurs. 

Soient (ai/i), {bih) et (c,a) les tableaux qui correspondent res- 
pectivement aux substitutions A, B et C = AB; les ak se déter- 
minent par les formules 

Clic = 2 ^'J ^J'' ( «, A- = I , ■.>. , . . . ). 

Soient ^ et l5 les substitutions transposées de A et B; la trans- 
posée du produit AB sera fournie par le produit %^. Ce fait 
découle immédiatement des formules précédentes. 

Désignons par E la substitution identique x\. = Xh{ l^^i , ri, ...); 
il V correspond le tableau {eni) : ei/,= i pour i^/c^ o pour 

60. Etant donnée la substitution linéaire A, nous nous propo- 
sons de déterminer la substitution réciproque A~' de A, satislai- 
sant aux relations 

(12) ■ A-iA = AA-i= E. 

()uand A"' existe, elle est uiiivoquement déterminée par(i2), 
ou |)lutôt, elle lest déjà par Tune ou l'autre des deux relations 



86 CHAPITRE TV. 

A"'A:=E et VA'"'^E. En elFet, soll D une substitution telle 
que DA = E, on aura D = DE = DAA-' =EA-' = A'. 

Supposons donc que A~' existe; désignons sa transposée pour 
rinstant par ^'. Les substitutions ^%' et ^'.^ sont respective- 
ment les transposées de A^'A = E et de AA~' = E; donc, on a aussi 

c'est-à-dire que ^' est la réciproque de ^ et peut alors être 
désignée par ^~'. 

Soit maintenant — la l)orne des substitutions A""' et J2l~'. Alors 
m 

A~' faisant correspondre (■Z^/s) à (^/, ) et ^"' faisant correspondre 
(J'a) à (y,), on a 



(i3) 
(i4) 



'2i-^^i'=2'-^''''=2 S""'''-^'' 



'■^\r'V-^^\rir--^ 



2 "'■''••>'' 



Les inégalités (i3), (i i) expriment une condition nécessaire 
pour que A~' existe. Elles doivent avoir lieu pour tous les élé- 
ments (^a)i (j'i) de l'espace hilbertlen, autrement dit. une condi- 
tion nécessaire pour que la substitution linéaire A admette une 
réciproque A~', consiste en ce que les expressions 



2- 



/.-r/. 



2i^'"i"^ 



V 


/— 1 


t 


= 1 



restent supérieures à une quantité déterminée m- > o. 

Nous allons montrer ([ue cette condition nécessaire est aussi 
suffisante. 

Supposons la condition remplie et envisageons les systèmes 
d'équations (4) et (lo); nous y regardons les a,/,, Xf, yl comme 
donnés. Posons, dans (i i), |j.|, ..., u«, o, o, ..., au lieu des jk<S ^^ 



THÉORIE DES SLB>TITlTIONS LINÉAIRES V UNE INTINITÉ DE VARIABLES. ^7 

appliquant encore l'inégalité de (]aiichy-Lagrange. il viendra 



2.u,.v s2ii'.i'2!-;i'S;;^2i-;r-2 



Vi.t/«/A- 



Mais c'est précisément la condition pour que le svslèine (4) 
admette une solution (xa) telle tpie 



(i5) 



l\-^ni.^\-n^- 



Par conséquent, le système (4) admet, pour tout élément donné 
(jc,), au moins une solution telle que (i5). 

De même le système (lo) admet, pour tout élément donné (yl), 
au moins une solution (yi) telle que 



(i6) 



yrr'= 



2i 



7a- 



Je dis que les solutu^ns des systèmes (4) et (lo) sont uniques. 
En fait, dans le cas contraire, si par exemple (4) admettait 
deux solutions distinctes, le système homogène (|ui y corres- 
pond admettrait une solution (x/.) distincte de la solution évi- 
dente Xi =a?o = ...= o. Mais d'autre part, pour un système homo- 
gène, le second membre de (i5) s'annule, et nous voilà arrivés à 
une contradiction. 

En résumé, le système d'équations (4) fait correspondre à tout 
élément (x/,) un élément bien déterminé (.r/i), et le système (lo) à 
tout élément (yl) un élément bien déterminé (y/s). Ces corres- 
pondances sont distributives, ce qui suit immédiatement de l'unicité 
des solutions. Les inégalités (i5) et (i6) montrent que nos deux 
correspondances sont aussi bornées, l^ar conséquent, ce sont des 
substitutions linéaires, et, d après la manière dont elles lurent 
définies, elles représentent les substitutions A"' et ^~' dont il 
fallait prouver l'existence. 



61. Les termes rt^^'du tableau (^/;r") qui correspond aux substi- 
tutions V~' et >^~', se calculent au moyen du système (4) [<>ii 
aussi de (lo)]; a]J^' est la valeur de .r/, tirée de (4), après y avoir 



88 



iiai'ukk IV. 



posé arj ^ 1 , Xi = o pour / ^ /. \ vaut di-lerniiné les rt-7'' de celle 
façon, A^' el ^'^ seronl représentées par les foimules 



a-/. 



1"' 



k ^i 



(A-i, 



'i = ^a[/,''y',, (i = i,-i, ...). 



La formule ( /[o) du Chapitre précédent fournit |»our les r/-^" : 

2i 1 ... a„i 



«^r'=-ii 



■'•1./ 1 



^i« 






X/a 



ou 



'J— 7 ,^il^^jk- 
k-\ 



Le critère que nous venons d'établir peut aussi être interprété 
comme il s:iit. Il s'agit des deux liermitiens infinis 



(17) 



22 



(tikxi. 



2 2"'^^' 



qui figurent respectivement dans les inégalités (i3) et {\f\). Ces 
inégalités expriment que les deux liermitiens ii") restent 
^m^ >> o pour tous les éléments (x/,) tels que 



(i8) 



2i 

X = l 



•2"/.- = !■ 



LorsquHlen est ainsi, la substitution \ admet une réeiproque 
A~' et les limites inférieures qui correspondent aux deux lier- 
mitiens (17), variés sous la condition (18), sont égales entre 



TllKORIK DKS SU BS TITl TIONS LI.NK.URES A UXE INFINITÉ DF. VAKIAIU.F.S. 8i) 

elles; la valeur vécidroque de leur racine carrée donne la 
boine M^-,. 

Gt2. Le critère que nous venons de former apparaît ici coninie 
une conséquence particulière des résultats généraux du Chapitre 
précédent. Mais dans l'ordre historique, il fut découvert par 
.M. l\pplilz, indépendamment de cette théorie générale et même 
avant que cette théorie lut dt'veloppée ('). Une autre démonstra- 
tion, très simple et intéressante, est due à M. Hilb (-). Mais ces 
deux démonstrations ne semblent ))as susceptibles d'être étendues 
à des cas plus généraux, tandis que notre démonstration s'étend 
immédiatement k p^i quelconque. 

Pour nous approcher de l'ordre d'idées de M. Tœplilz, rédui- 
sons d'abord le fait à démontrer à un autre. Il s'agissait jusqu'ici 
d'une substitution linéaire quelconque A. Or, désignons par 6/a 
et c/A les coefficients du terme XiXk dans les hermi tiens (17) et 
envisageons les substitutions B et C qui correspondent aux 
tableaux (^/a), (c/a). Ces tableaux sont déjà d'un tyj^e bien 
jiarticulier, leurs éléments étant les coefficients de deux liermi- 
tiens positifs. 

Or, on a B = ^A, C = A21, en désignant par A et % les deux 
substitutions qui correspondent au tableau (/7 /a)- Lorsque A admet 
la réciproque A~', B et C admettent évidemment les réciproques 

B-'==A-'^-', C-'=^"'A-'. Inversement, lorsque B et C 
admettent des réciproques B"', C~', la réciproque A"' existe 

aussi; elle est fournie soit par B~'^\, soil j)iir ^C~'. Car 
on a 

(îrîâ)A = iFi'(^A) = ÏF"iB = E. A(^C-') = (A^)C-' = CC i = E, 
Donc, tout revient à ch'-monlrcr la proposition suivante : Lorsque 



( ' ) Tœplitz, Die Jacobisclie Transformation der quadratisclien Formen von 
unendlich vielen VerànderlicJien (Nacfirichten d. Ces. d. Tl'm., Gôltingen, 1907, 
p. 101-109). 

( = ) Hilb, Ucber die Auflosung von Gleichungea mil unendlich vielen Unbe- 
kannten {Sitzungsberichle d. l'hys.-Med. Sozietiit, Erlangen, 1908, p. 84-89). 



90 ciiM'iTRi: IV. 

(j:/f) variant sous la condition (18 i, L' licrnulicn 



(19) B(a7,x)= ^ (>ii.:r,j 



a une limite inférieure. ,1 >> o, la substitution linéaire V> = ( tfik) 
admet une réciproque ii~'. 

Dans co but. considérons les réduites 

n 

(20) \\i{x,x)\n= V bikX-iXu 

de 1 hermitlen B. V^aiiées sons la condition 

elles admettent des limites inférieures J,,. (Jes quantités J„ restent 
(;\idemment iJ. Dailleurs, elles forment manifestement une suite 
monotone décroissante, et 1 on prouve aussi aisément que cette 
suite tend vers .1. Mais ce fait n'interviendra pas dans notre rai- 
sonnement. Le fait essentiel est ([ue les J,, restent, pour tous 
les /i, au-dessus dune borne inférieure positive. 

Envisageons maintenant la substitution linéaire à /« varial)les 1^„, 
formée avec les coefficients bik(i, /r= i, 2, ... /?). Pour B„. l'ana- 
logue de la proposition actuelle suit immédiatement de la tbéorie 
des déterminants. Comme .T«^o, le svstème homogène 

n 

\ bi/^Xi = O ( A = 1 . . . . , /i ) 
' / = i 

n'admet pas d'autre solution cpie :ri = ...^.r„ = o; donc, le détermi- 
nant |6/yt|„ ne s'annule pas. Par conséquent, la substitution B„ admet 
une réciproque bien déterminée R,7' ; les coefficients de cette 
réciproque s'expriment dune façon bien connue à laide du di'ter- 
minant | /^/a |« et de ses mineurs. La borne de la siibslitiilion l>,7' 
est-y^C). 

(' ) l);ins le but que nous poursuivons, il suflil tic s'assurer (jue ceUe Ijorne 



THÉORIE DES SL'BSTITUTIONS LINÉAIRES A UNE INFINITÉ DE VARIABLES. <)! 

Faisons croître n indé(înimenl; les coefficients des subsliLu- 
lioiis B~' tendront vers des limites bien déterminées 6,7'', et le 
tableau (/>/7' ) donnera lieu à une substitution linéaire B""', cjui 
sera la réciproque de B. Sominairenient, dans le cas considéré, le 
principe des réduites s'applique. 

Tout cela suit immédiatement des princij)es posés dans le Cha- 
pitre précédent, en particulier des théorèmes établis dans les 
n'^' iOet 4i2. 11 serait aussi bien facile de donner une démonstration 
directe conforme à ces principes. Mais ces détïiils nous éloigne- 
raient beaucoup de l'ordre d'idées de M. Tœjditz qu'il s'agit 
d'exposer. M.Tœplitzse place au point de vue de l'Algèbre pure; il 
en tire tout son possible et il ne se sert des algorithmes illimités 
qu'au moment où la puissance des méthodes algébriques est 
épuisée. 

Il y en a, en effet, une classe considérable de subslilutions 
linéaires dont 1 inversion s'aborde, quant au calcul des coeffi- 
cients, par des algorithmes limités. Envisageons une substitution 
linéaire D telle que, quel que soit n, x^ ne dépende que de 
^,, ..., x„. Dans le tableau (c/z/i) qui y correspond, les éléments 
à droite de la diagonale s'annulent. Lorsque la réciproque 13"' 
d'une telle substitution existe, le calcul de ses coefficients n'exige 
que la résolution de certains systèmes linéaires à un nombre fini 
d'inconnues; en elî'et, les coefficients de D;;' le sont aussi 
pour D~' . 

Mais il j a encore un autre problème qui n'exige que l'emploi 
de certains algorithmes limités. Le voici : décomposer la substitu- 

supérieure ^ — . Car il s'agit, seulement de voir que la borne supérieure ne croit 

pas indéfiniment avec n. Or, si l'on se contente de démontrer cette inégalité au 
lieu de l'égalilé exacte, il suffit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Lagrange, ce 
(jui donne 



J;. 



^ *^a •2^,-^1 ) =2]'-^ 



V 

i — \ 






=y 



^,r- 



t- 1 



d'oi' 



II 



II-;- 



<-L. 



92 CIIAI'IinK IV. 

lion B en B= ])?j, de sorte que D soit une substitution du lype 
que nous venons de considérer et 3? sa transposée (' ). En efTet, on 
obtient successivement les coefficienls dik en décomposant d'une 
façon analo<;ueles substitutions J^„. 

Dans cet oiibe «ridt'-es. rin\er>i(jn de B re\ienl à faire d'abord 
la décomposition B = D^, |)uis à déterminer D~', et enlin (ce sera 
seulement ici que ron se servira des algoritbmes illimités) à former 
le produit ."^"'D^'. Ce produit fournira évidemment la réci- 
proque B~'. On suppose, bien enleniln, ipie tous ces calculs 
conduisent à des substitutions bornées et alors linéaires; ce (|u il 
est très facile de démontrer. 

Les coefficients de D~' se calculent aussi en décomposant, au 
lieu des B„, leurs réciproques B"' ; c'est précisément ce que fait 
M. Tœplilz. Désignons par A,, le déterminant formé en prenant les 
n premières lignes el les /i premières colonnes du tableau (6/a). 

Soient ( j les mineursdu [)remierordre decedéterminant. Posons 



"l 1 



\/bn 



rf,r' = 



/a,_, a,- 



pour i^ A > 1 , d,f 



pour f</,; 



soient D^', Dr', ... les substitutions à i, 2, ... variables formées 
avec les coefficients d,j^''j on aura, d'après une identité qui 
remonte à Lagrange, 






•r/; 



i2(/,),;"^" 



c'est-à-dire .'^„ ' D„ ' = B"'. 

63. Contrairement à la métliode fjuc nous venons d'esquisser, 
celle de M. Hilb apintrtient à l'Analjse. Elle rej)ose sur l'étude 
de la série 



(9A} 



A2-1-A3. 



(') I^es systèmes d'i'ini;iiiiiri> ipii corrcspoiidiMil ;iii\ siihslilutions du type Sj, 
ont la l'orme particulière considérée au n" t'2. Nous invitons le lecteur à examiner 
si l'on peut appliquer ici la méthode y indiquée, savoir le principe des réduites. 



THÉORIE DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES A UNE INFINITÉ DE VARIABLES. <)3 

nous }' désignons par V-, V'', ... les puissances de la suhslilulion \, 
c'est-à-dire les substitutions réitérées 



A2= AV, 



A3= AA2= A^A = AAA, 



Vu premier abord, la série (21) n'est qu'un développement formel 
de (E — A)~', analogue à celui de (i — z)~* en série entière. 

M. Hiib se sert du fait suivant : tant que M^ << i, la 
série (21) converge et fournit la réciproque de E — A. Pour le 
moment, nous ne ])récisons pas le sens de cette assertion; nous y 
reviendrons |)liis tard dune façon détaillée. Contentons-nous de 
dire quelle impli(|ue, entre autres, le fait que les coefficients des 
substitutions S„ = E + A + . . . + A"~' convergent, pour n infini, 
vers des limites bien déterminées 5/a et que ces quantités 5/a sont 
précisément les coefficients de la réciproque cherchée. 

Rappelons donc le théorème à démontrer : Lorsque l'hermitien 
positif (19) a une limite inférieure J > o, la substitution B qui y 
correspond admet une réciproque B^' . Or, posons (a désignant une 
constante numérique positive) B= -[E — (E — '^-Bi]; il en résul- 
tera le développement formel 

B-'= a[E + (E — aB) + (E — aB)2-^...]. 

D'apx'ès ce qui précède, tout revient à déterminer la constante a 
de sorte que Mg-aB < i- Mais M|:_aB est la limite supérieure de 
l'hermitien 

00 2 X 00 oc oo 

,• — a V b,/, ./•/,. = 2, 1 ^' 1 - — 2 a 2] h,/, x, xu-^tT-^^ ^ bu, xi, 

k = \ i=l i,k=l t = l k = l 

les Xk variant sous la condition (18). Par suite, on a 

ME-aB=I — 2xJ -H 3£-J\1b, 

et comme J > o, le second membre de l'inégalité reste < i pour 

o<a<— ^ (»)• 

■»' B 

Donc, toute valeur telle de a peut servir à déterminer B"'. 



(') Un peut obtenir, par une discussion un peu plus profonde, la Ijorne 



94 CIIAI'ITUK IV. 

64. Inslslons encore un niomenl sur le fait qui servit de point 
de départ à M. Hilb et (\u'\ nous sera encore utile dans la suite. 
C'était le fait suivant : Lorsque M^<^\, la substiliitinn E — \ 
admet une réciproque. Nous avons vu comment on déduit de ce 
fait les critères de M. Tœplitz. Mais, d'autre part, ces critères 
généraux doivent évidemment com|)rendre la condition parti- 
culière M^<; I. En etret, quant à ces critères, il s'aj^it des bornes 
inférieures des liermitiens 



y = I 1 /. = 1 I * - 1 / = 1 

En appliquant linégalilé (- ) du Chapitre précédent, on trouve 



1 



On a de même 



/. = i 



•r/, 



>,«/7.^/.- 



^([-M.v)2^|x/,|^ 
/ = i 



Par conséquent, les bornes en question sont ^ i — M^ et elles 
ne peuvent sannuler que si M^^^i. C'est-à-dire, dans le cas où 
M^ < I. les conditions de M. Tœplilz sont remplies; donc, E — V 
admet une réciproque (E — ^)~' t't l'on a 



M F. 



Ma 



LES SLBSTITLTIONS COMPLKTEMENT CONTIXIES. 

6o. \ous venons de former les critères pour que la substi- 
tution \ adniette une réciproque A~'. Tant que nos condi- 



exacte -rp. Notre développement converge pour toute valeur plus petite de a : 

o 

elle cesse à converger lorsqu'on pose a= -— . La convergence deviendra la plus 



rapide possible pour a — 



J - Mb 



; le sens de cette assertion est facile à préciser. 



TIlKOUir. DKS SI USTITITIONS LINKAIIŒS A INK INIIMTK I)K VARIABLES. o") 

lions sont remplies, les systèmes (4) et (lo) ont des solutions 
uni(|nes, et Ion obtient ces solutions en appliquant respectivement 
aux éléments (x',.), (xl) les substitutions A~', ^"'. Jusqu'à ce 
point, nos sub-tilulions se comportent tout comme s'il s'agissait 
dun nombre fini de variables. Qu'est-ce qui arrive pour les 
svstèmes (4) et (lo) lorsque la réciproque n'existe pas? Rappe- 
lons les résultats |)rin(ipaux qui portent sur le cas d un nombre 
fini de variables. Dans ce cas, lorsque la réciproque n'existe pas, 
cliacun des svstèmes bomogènes 

'\aa-^A = o (/ = I, 9, .... n); \^a//,ar/=o û" = i. •),....,« ) 

/, = i /=i 

admet une ou plusieurs solutions. Soit, pour fixer les idées, (xf) 
une solution du second système; pour ([ue le système non bomo- 
gène 

n 

ait une solution, il faut évidemment avoir 

n 

Loi-sque {x'/.') est tel que cette dernière relation est remplie pour 
toute solution (x^) du système bomogène à droite, le système non 
homogène admet des solutions. Les deux systèmes bomogènes 
admettent le même nombre de solutions indépendantes. 

Est-ce que ces résultats très simples subsistent dans le cas 
dune infinité de variables? 11 n'en est rien. \ oici (juciques 
exemples : la substitution x'f^=:Xk+t (/. = 1, 2, ...) n'a })as de 
réciproque. Malgré cela, les deux systèmes homogènes auxquels 
elle donne lieu, savoir : 

T/, = o ( / =■>..']....): Xi— o ( « = I , ?., . . . ), 

ne sont pas de même ty[)e ; tandis que le premier sera satisfait 
par JC, quelconque, x.^ x^= . . . =^ o. le second n'admet évi- 
demment (jue la solution triviale x, = .z'o = . . . = o. La subsli- 



96 CIUIMTIU: IV. 

[nùon x\-= -. Xk (A==i, a<...) n'a pas de réciproque; car cette 

réciproque ferait correspondre à-x^. = t les valeurs x/i=:i, 
et S|j7a|- ne convergerait pas. I)"aulre part, les deux systèmes 
liomogènes qui y correspondent nad mettent que la solution 
.r, = ./•..=:=...= o. Les deux sjslènics lioinogènes cjui corres- 
pondent à la substitution x]. = j.r, (/»■ = 1 , 2, . . .) admettent tous 
les deux une infinité de solutions iinlé[)endantes. 

66. Cependant, il v a une vaste catégorie de sul)stitu tions 
linéaires à une infinité de variables, auxquelles les résultats 
indiqués s'étendent. Si par exemple, la série double ^| a,h \- con- 

;, A- 

verge, la substitution E — A se compoitera de la manière exigée, 
comme on s'en rend compte en appliquant la méthode des déter- 
minants infinis. D'ailleurs, c'est seulement un cas particulier du 
cas que nous allons étudier, en supposant la substitution A d'être 
complètement continue. 

Expli({uons ce que l'on entend par cette dernière ex|)ression. 

Toute substitution linéaire est, par définition, continue, c'est- 
à-dire lorsqu'une suite d'éléments tend vers un élément limite, la 
suite correspondante tend vers l'élément qui correspond à cet 
élément limite. C'est vrai pour la convergence au sens ordinaire 
(n° 00) et reste vrai quand on définit la continuité moyennant la 
convergence forte (n" 37). C'est-à-tlire, dans le cas général, à la 
convergence correspond de nouveau la convergence et à la 
convergence forte, la convergence foite. La substitution linéaire A 
sera dite complètement continue, lorsqu'elle fait correspondre à 
chaque suite (.r)^"') (/? = i, 2, ...), tendant de n'importe quelle 
façon vers un élément limite (.ta), une suite (^À'"') qui tend /o/ - 
tement vers l'élément {x'i^) ('). 



(') Dans la ihcorie de M. Ililbcrt la loime liilincairc \{x, y) csl dite être 
cornplùlement continue {voUslelig) si 

(:r/;")->(^;), (y;' )->(rJ 

cnlrainenl 

X{x-"),y'"))-> \[x,y). 

La définition du texte et celle de M. Ililbeil sont liées par le fait que chaque 



TIIKORIE DES SIIISTITL TIONS MNKAIHKS A UNK rM'IMTK DE VAIUAHI.ES. 97 

lV)ur ;i\i»lr ties exemples très simples, qui montrent nette- 
ment la naUire de la restriction imposée aux substitutions 
complètement continues, considérons les formules Xf.^=ahXk 
(/.■ = i, j., ...'). Toutes les lois que les (juanlités «y; sont bornées 
dans leur ensemble (et dans ce cas seulement), nos foi-mules défi- 
nissent des substitutions bornées et alors continues. Mais la sub- 
stitution définie ne de\ient comj)lèleinent continue que si, pour 
A"— vx, les Qh—^ o. 

En particulier, la substitution E n'est pas complètement con- 
tinue. De plus, il découle immédiatement de notre définition que 
si l'une au moins des deux substitutions A et B est complètement 
continue, le |)roduit AB Test aussi. On en conclut que les substi- 
tutions complètement continues ne peuvent admettre des réci- 
procpies. En fait, dans le cas contraire, la substitution E= AA^' 
serait complètement continue. 

Si, sauf une seule ligne ou une seule colonne, tous les coeffi- 
cients de A s'annulent, A est évidemment complètement continue. 

De plus, si A, B II sont complètement continues, A+B-h. . .-t-H 

l'est aussi. On en conclut que s'il existe un nombre m tel 
que ciih^o pour tous les ?', k ':> m^ A est complètement 
continue. 

67. Nous allons étudier les systèmes d'équations qui corres- 
pondent à la substitution E — A en supposant A complètement 
continue. 



tableau (a^) qui corresjjoîid à une substitution complètement continue, donne 
aussi lieu à une forme bilinéaire compléieiiient continue et inversement. Ce fait 
découle immédiatement de la proposition suivante : Soient donnés (u^) et la 
suite des éléments (u;"') apiiartenant à l'espace hilbertien ; alors pour que la 
relation 



2]«^" -"'->!! "^^^ 



ait lieu pour chaque élément (x^) et pour chaque suite (^/"') tendant vers {x^). 
il faut et il suffit que la suite («/,'') tende fortement vers («J. [Cf. la remarque 
faite à propos de la formule (28) du Cliapitre lit; le fait y indiciué implique la 
suffisance de la condition énoncée.] 

La correspondance entre substitutions et formes complètement continues met 
en évidence que, si A est complètement continue, la transposée A le sera éga- 
lement. 



98 



cim'irnK iv 



Celle éliule pomrail t-lre i iillaclu'c aux raisonnements généraux 
du Chapitre j)récédenl el,en |)aiiuuliei% à la théorie de M. Schniidl. 
Je préfère exposer ici une niétliode |)arliculièi(î qui esl une sorle 
de généralisation des raisonnemenls du n° i^r"). (>elle méthode 
semhle être invenlée par M. A. C. Dixon (') fpii l'appliquait à 
l'étude des substitutions portant sur les systèmes (^/,) tels que le» 
\x/t\ sont bornés (-). La' méthode de M. Dixon, peu modifiée, 
nous servira à étudier les substitutions cpic nous enxisageons. 

Etant donnée la substitution A aux coeflicienls «//,, soit R« la 
substitution qui corres|)ond au tableau (a,/,) où Ton a remplacé 
par des zéros les élénu^nls des // premières lignes et aussi ceux 
des n premières colonnes. Soit i\J,{^ sa borne supérieure, (hiand 
n varie en croissant, les quantités Mn^ décroissent, ou au moins 
ne croissent pas, c'est évident. Mais lorsqu'on suppose la substi- 
tution A eoniplètement continue, on peut affirmer beaucotij) jilus : 

dans cette hypothèse, 

Mr„->o. 

En efTet, pour chaque valeur de //, il existe un élément (t'") tel 
que x'I'' = ...^ ^'n'' ^ o? Tj'"^/'" 1'^^ ^- ^^ que, de plus, Ihermitien 



E 2 



au.XK 



(*) DixoN, On a classe of matrices of infinité order and on tlie exis- 
tence of « matricial » functions on a /iiemann surface, received i5 mai 
1901 {Transactions of ihe Cambridge Philosophical Society, vol. XIX, 
p. 190-233). 

(-) Quanl aux coefficients a,^, .M. Uixon suppose qu'il existe des constantes a^, 
de sorte que la,J - cn^ et que Saj converge. Il suffirait aussi d'imposer aux «,n la 

condition moins reslrictive que les quantités A, = \ |«,J tendent vers zéro 

/, 
pour j-> ce. 

Je profite de l'occasion pour dire quel(]ues mots sur les substitutions qui 
portent sur les systèmes {x^) tels que les \x^\ sont bornés. Par analogie, on y 
définira la convergence par x'^'^^-^^x^. et la condition que tous les |ar/'"] soient 
bornés dans leur ensemble. La convergence forte sera celle où x'J['^ tend unifor- 
mément vers x^. Ces conventions faites, les tableaux (a,j) qui correspondent aux. 

substitutions linéaires seront caractérisés par le fait que les (juaiitités A,= 7 l«,il 

/, 
restent bornées, et les substitutions complètement continues pour A,— >o. 



THÉORIE DES SLBSTITU TIONS LINÉAIRES A UNE IMIXITÉ DE VARIABLES. QiJ 

y attciiil à - près sa borne supérieure M^^. Or la suite des {x["^) 

tend, pour n infini, vers l'élément (o); par conséquent, la 
suite (^^'' ) T^" y correspond, tendra vers (o) d'une façon forte. 
En formule 

/=1 /, = « — ! 

Cette formule et l'inégalité 



A- = n -(- 1 



donnent M,. ->- o. 

En particulier, on aura pour /i assez grand 



Mu. 



Supposons (|u(' Ton ait choisi n de cette façon. Donc, d'après le 

lemme du n° Gi, la substitution E — R,; admet une réciproque. 

Posons 

(E-R„)-i = E^B; 

la substitution B ainsi définie sera, à certain égard, du même type 
que R,i, savoir : les n premières lignes et les n premières colonnes 
du tableau (^/a) ne contiendront que des zéros. 

68. Pour simplifier le calcul, décomposons A de la façon sui- 
vante : A= A„4- P«+ Q«+ Rrt. A„ désigne la substitution qui a 
les mêmes coefficients que A pour iSn, /C^n, et dont les autres 
coefficients s'annulent. P„ a les mêmes coefficients que A pour 
i^n, k^n; les autres coefficients de P„ s'annulent. Q„ a les 
mêmes coefficients que A pour t >» /i, k^n; les autres s'annulent. 
La substitution R„ vient d'être définie. Enfin, désignons par E„ la 
substitution x'/. = Xi< pour Z:^ /i, x'^ = o pour k >> n. 

En multipliant l'identité E = (E + B)(E— \\„) par P„. il vient 

P„=P„(E + B)(E-R„). 



Ajoutons aux deux membres E,, — A„ — P,^ — P„(E-h B)Q/i ; il 



100 ( IIAI'ITIIE IV. 

\ iendra 

{■il) lin — ^n- P«(E + B)Q„= \i„- \n- P„-+- l'«(K -+- B; (E - Q„- H„). 

Pour interpréter l'identité obtenue, désignons p»r{x'^) l'élément 
qui résnlle de (xk), quand on y applique E — A. Appliquer à (xa) 
la substitution E,; — A„ — V„, revient à appliquer à (:r^) la 
substitution E,,. Appliquer P„(E -h B) (E — Q„ — R„) à (xk) 
équivaut à a|)pliquer à [x',.) la substitution P„(E-|-B). Donc, la 
substitution cpii figure au second membre de (22), appliquée à(xA), 
équivaut à E„+P«(Eh-B), mais portant sur {x',.). Posons, pour 
simplifier l'écriture, 

E„-A„-P„(E + B)Q„=C, E„-^P„(E^B) = D; 

alors, C appliquée à (x/,) et D appliquée à {x'/.) conduiront à 
des résullats égaux. 

Ajoutons (pie la subslitiilion G peut aussi être envisagée comme 
substitution à n variables, puisque ses coefficients s'annulent 
pour /^ n et aussi pour k >> /i . 

Or, le calcul sjmbolifpie que nous venons de laire permet de 
ramener le système d'équations 

( '^-S ) Xi — V a,/, XI, = x\ ( t = I , -2 , . . . ) 

/, = 1 

aux iii((jiiniies Xii-, en iKtinbic infini, à un autre ne contenant que 
les n |)remières de ces inconnues. Mettons à part, pour l'instant, 
les n premières des équations et mettons les autres sous la forme 

« " 

Xi — 2, Oii,X/, = x'i H- 2, Clili^l, ( t = /t -h I , « -I- 2. . . . ). 

/. = n-t-l A = l 

Ce derniei- système se résout, suivant les inconnues ;r„^i, 
•^«+21 • ■ • 1 movennant les foi'mules 

Xi = x'i +2 « //. -T'A + ^ * 'V ( ^'j ~^ '^'J'' 



où l'on a désigné par 6//f les coefficients de la substilulion B. En 
porl.inl CCS ex|)ressions dans les équations mises à part, on arrne 



TIIKORIK DES SIBSTITLTIONS LINEAIRES A UNE INFINITE DE VARIABLES. lOI 

à éliminer les inconiuies ^«+(, ^«+2, •■■^ et Ton obtient le système 
suivant : 

n X 

(24) ^c,/,X/,=2^ci,jT'j {i = i, :>.,..., Il), 

/. = ! /=1 

OÙ Cik et (lij dési<;nent les coelficieiits des substitutions C et D que 
nous venons de définir. 

Un proeédé analogue conduira à transformer le système 

30 

(25) x/, — V a,/, Xi = xl, 

1=1 

correspondaul à la substitution transposée E — ^, dans le 
suivant : 

n 3; 

( 26 ) ^ Ci/,Xi = 2 d'j/, x"j (k = i , ■>., . . . , n). 

Quant aux quantités d j^, (|ui se calculent d'une façon analogue 
aux</,7i [ce sont les coefficients de la substitution E,, + (EH-B)Qrt], 
elles nous intéressent peu pour le moment. Toute notre attention doit 
être portée sur les coefficients qui interviennent dans les premiers 
membres; ce sont les mêmes que ceux du système (24)- E" effet, 
ce sont les coefficients de la substitution E„ — ^„ — ©„(Eh-|3)Q„ 
qui est la transposée de C. 

Ainsi l'étude des systèmes (aS) et (26) est ramenée à celle 
de (24) et (26); c'est-à-dire que l'étude de la substitution E — A, 
à une infinité de variables, revient à celle de la substitution C„, 
à n variables, qui correspond au tableau {cik). 

61). Il faut distinguer deux cas : 

Premier cas. — Le déterminant | c/a |« ne s'annule pas. 

Dans cette hypothèse, la substitution C« admet une réci- 
proque C~'. Celle-ci peut aussi être envisagée comme une sub- 
stitution à une infinité de variables, en posant, par définition, 
égaux à zéro tous les coefficients qui manquent. Quant à la réso- 
lution du système (aS), la substitution C,/ D, appliquée à l'élé- 
ment {x'-)^ fournira les vraies valeurs de.r,, ..., x,t et donnera 
zéro pour les autres Xa. Pour calculer les vraies valeurs de ces 



102 CHAPITRE IV. 

dernières inconnues, on reprendra leur expression moyennant 
Xi, ...,x„\ x\, .To, .... En y portant les valeurs obtenues pour 
a:, , . . ., x,ii on voit que la substitution 

E - E„-- B -}- Q„C-' D -+- BQ„C-i D, 

appliquée à rélément {x\), fournil les vraies valeurs de x„-\-\', 
^n+ii . • • • D'autre part, celle dernière subslilulion donne 

Donc, la substitution 

E - E„-i- B -4- G-' D -r- Q„C-' D + BQ„ G"' D, 

appliquée à {x'^), donnera précisémenl la solution {x^) du sys- 
tème (23). En formule 

{■>-) (E - A) (E - E„-i- B -^ G-' D + Q„G;i' D + BQ„C;;i D) = E; 

celle formule peut aussi être vérifiée par un calcul symbolifjue 
facile à exécuter. 

Des considérations analogues, portant sur les systèmes (20) 
et (26), conduisent à délerminer une substitution J" telle que 

Or, on n'a pas besoin de calculer S d'une façon détaillée. Il suffit 
de remarquer qu'elle existe, et l'on en conclura que la substi- 
tution E^ — ^ A admet une réciproque cl que cette réciproque esl 
fournie par la substitution 

E- E„+ B -I- G-i D + Q„G-i D -^ BQ^C;^! D 

que nous venons de calculer. En efTet, soil F la transposée de J*; 

on aura 

F(E — A) = E; 

donc, en multipliant par F les deux membres de (2'j), il vient 
E — E„ -^ B + G„' D -i- QG-' D -\- BQG-' D = F 

et, par conséquent, 

(E - E„-^ B + G,i' D -- QCi» D + BQG„' D) (E - A) = E. 

Second cas. — Le déterminant | c//, ],; s'annule. 



TllÉORIli DKS SlBSTITl TIONS LINKAIUKS A l NE INFIMTIC VF. VARIABLES. Io3 

lJ;uis ce cas, cliaciiii des deux sjslcraes lioinogènes 

n II 

(28) y^c,/,T/,= o (/ = !,...,«); \jC,A3-/=o (A = i, n) 

k=[ / = 1 

adinel le inènie nombi-e m de solutions indépendantes. Soient 

■'1 — ■'■ i 1 ■ • • 1 ~f' Il — ■'■Il 1 •< 1 — ■'■ \ - • • • 1 -^ n — *H ) 

/n solutions indépeadaules du premier système; 

u l — pi) • • • 1 ■J n — p /t ! •< 1 — pi ) • • • 1 -^ « — Pi 1 

m solutions indépendantes du second. Toute solution du premier 
système s'exprime par uue combinaison linéaire et homogène des 
solutions a et toute solution du second système est combinaison 
des solutions -j. 

Passons aux systèmes liomogènes infinis, cpii résultent de (23) et 
de (aS), en y posant l'élément donné =(0). Soit(x)[) une solution 
de l'un ou l'autre des deux systèmes; ^^ . . . , :r" sera évidem- 
ment une solution du système (28) correspondant. Inversement, 
lorsqu'on se donne .r", ..., j;"^ et que ces valeurs satisfont à 
l'un ou l'autre des systèmes (2<S), le système infini corres- 
pondant admet une solution (^a) telle que;ri=:j:", ..., a:«^^". 
Pour lixer les idées, sujjposons (pi'il s'agisse du système homo- 
gène (23). Alors, X'I, ..., a;" étant une solution du premier 
système (28), les Inconnues x,i_^,., ^n+->i ••■ résultent des écpia- 

lions 

00 " 

Xi — y aiA-T/, = N^ ai/,.Tl ( i = « -h I , . . . ), 

A- = « + 1 /• = 1 

qui les déterminent d'une façon univoquc. On les obtient 
en appliquant à l'élément x", . . . , .r)^, o, o, ... la substitu- 
tion (E+B)Q,^. Donc, toute solution du système homogène 
infini se déduit d'une solution correspondante du système fini 
(complétée par des zéros), en y appliquant la substitution 

E„-H(E 4- H,)Q„. 

Mais c est précisément la substiluliou (pu correspond au 
tableau (f/,/;.), c'est-à-dire (jue si l'on désigne par x^, ..., o"" la 



I04 CllAPlTHE I\ . 

solution g>hacrale du sjslèmc fini, la soluliuii générale (Jc^i^) du 
système infiui s'exprime \m\v 



^/ =2^''''^" («'='• 2: 



En parliculier. appli(|uons noire procédé aux solutions a: on 
obtiendra m solulions du svslénie liomogéne infini (aS). Nous les 
désignerons par (a)^") (y ^ ' , • • • , >ti)- Or, chaque solution x^^, .. ., 
^J) du premier système (28) peut être envisagée comme combi- 
naison linéaire des solutions a; donc la solution du systèn)e infini 
qui en découle sera la même cond)in;iison des solutions (s'-Jt"' )• 

En résumé, toutes les solutions du système homogène 
infini (aS) sont des combinaisons linéaires de m solutions 
particulières, linéairement indépendantes entre elles, et il en 
est de même quant au système homogène (aS). 

Passons aux systèmes non homogènes. Supposons, pour fixer 
les idées, qu'il s'agisse de résoudre le système (aS). Le passage de 
(20) à (26) peut être toujours exécuté, sans qu'il faille faire 
aucune hypothèse sur l'élément donné {x"). (^uant au système 
(26), pour qu'il puisse être résolu, il faut et il suffit que la rela- 
tion 



22;";.-; 



ail lieu pour chaque solution x", ..., ^" du |)remier système 
homogène (28). Cette relation s'écrit aussi comme suit 



; = i 



2^; ( ^d'jkxl \ =^x)x^j = o. 



Mais {x^j) représente la solution générale du système infini homo- 
gène (23). Donc, la condition nécessaire et suffisante pour que 
le système (20) puisse être résolu, consiste en ce que la relation 



^x",,tI = o 

A = l 



ait lieu pour cliaque solution (-c".) du système homogène (23). 



THEORIIi: DES SLBSTITLTIOXS LINÉAIHKS A IMC IXFIMTK VK VAUIAULES. Io5 

Lorsque (.r,) est choisie de cette façon, le système (20) admet 
évideiiiinenl jjliisieurs solutions; la solnlion générale se déduit de 
l'une (juclcoii{|ue des solutions particulières, en y ajoutant une 
combinaison linéaire à coefficients arbitraires des m éléments ([i'/. )■ 

Des résultats analogues portent sur le système non homo- 
gène (28). 

En résumé, lorsque la substitution \ est complètement con- 
tinue, les systèmes infinis (2.3) et (2.5) conservent les propriétés 
essentielles des systèmes finis qui contiennent le même nombre 
déqucilions que cVinconnues. 

Faisons encore remarquer que 1 hypothèse ([ue V est comj)lète- 
ment continue ne nous servit que pour en conclure que, pour n 
suffisamment grand, ^Jit„<! 1. Donc, tous nos résultats subsistent, 
quand on suppose seulement que A jouisse de cette dernière 
j)ropriété. 

70. [..es considérations précédentes permettent aussi d'intro- 
duire un paramètre variable À et d'étudier la réciproque 
(E — À A)"' en fonction de ce paramètre. Supposons que À varie 
dans un cercle aAant pour centre Torigine et de rayon ;■. (^uand A 
est complètement continue, on peut choisir n de sorte qu'on ait 
Mi,^<;-- Cela étant, la substitution E — XR„ admettra pour 
chaque valeur envisagée de A une réciproque E + B (a); les coef- 
ficients de la substitution B(a) dépendent de a et ils en sont des 
fonctions holoniorphes pour | A | ^ /". Il en sera de même |)Our les 
coefficients des sul)stitutions C (a), C,^ (a), D ( a) qui corres- 
pondent à G, G„ et D. Or, le calcul de la réciproque C~'(a) de 
C«(a) se fait movennaiit des déterminants d'ordre fini qui alors 
seront aussi des fonctions holoniorphes; et comme une fonction 
holoniorphe dans un domaine (frontière inclue) n'y admet 
qu'un nombre fini de racines, la réciproque C~' (a) existe 
])Our toute valeur envisagée de À, sauf peut-être un nombre 
fini d'entre elles. De plus, si C~'(Ao) n'existe pas. C~' (a) 

pourra être mise sous la forme -r r-^^ — . les coeflicients de G (a) 

étant h()lomorj)hes pour a= Aq. Eiitin, la formule 

(li - X A)-i = E - E„+ B(A) -4- C;;' (X)D(À ) 

-f-XQ„G;i>(X)D(X)-4-XB(X)Q„G-'(X)D(X) 



lo6 CHAPITRE IV. 

permet dadiriîier les mêmes faits pour (E — aA)~' ; ces faits s'ex- 
priment sommairement en disant rpie la réciproque (E — A V)"' est 
méromorplie en />. Ce résultai esl \i;ii pour toute valeur de />, 
puisque le ijinou /• du cercle considé-ré peut rire choisi arhitraire- 
meul. 

Il convient d ohserxer que dans les cas qui se prêtent à la 
méthode des déterminants iulinis, par exemple quand la série 
double S j a/A I" converge, le résultat établi est une conséquence 
immédiate du fait que le déterminant infini, formé avec les élé- 
ments Ciii — KCiiii^ est une fonction holoinorphe de K. 



SUITES ET SERIES DE SUBSTITl TIGNS. 

71. Au n" 63, en exposant la méthode de M. Hilb, nous avons 
dit que la série 

(21) E-+- A-f- A2 + ... 

converge, lorsque M^^<!i, vers la substitution (E — A)~'. Mais 
nous n'avons pas démontré cette assertion; ni nous n'en avons 
même précisé le sens. Comblons cette lacune, en développant en 
même temps quelques généralités concci-nant les suites de substi- 
tutions. 

Je me hâte d'observer que les raisonnements généraux qui 
suivent s'étendent immédiatement à d'autres passages à la limite, 
dépendant par exem|)le, au lieu d'un indice entier, d'un paramètre 
continu. 

Etant donnée une suite indéfinie (A„) de substitutions linéaires, 
désignons par((7^". ) ^^s tableaux fpii y correspondent. Supposons : 
i" que les bornes M,v^^ restent toutes inférieures à une quantité 
finie M; 2" que lorsque n croît indéfiniment, les suites («^".) 
tendent vers des \alcurs limites atk- 

Je dis que, dans ces hypothèses, les <7,a sont les coefficients 
d'une substitution linéaire A telle que 

(29) Ma^M. 

En effet, on a j)our tout choix des entiers l el m et des quantités 



TlIKORIK DKS SI BSTITUTIOS LINEAIRES A LNE IMIMTK DE VAHIABLES. lO: 



/. = 1 



/ I //; 



iTil 2^< 



ï-'-^/. 



SAP^I 



t;,- 



et, daprès le n" oO, c'est préciséinent la condition pour que le 
tableau («/a) corresponde à une substitution A telle que (29). 

Soit, de plus, (^a) un élément quelconque; soient (iPÎt"')' (-^/t) 
les éléments qu'on obtient en appliquant à (xf,) respectivement les 
substitutions x\„, A. D'après 1 hypothèse 1°, on a pour tous les i 
et n 



2i«^rp^M- 



et par conséquent, d'après le n" 40, 



(."i = Va.''; 



x-A- 



"2"' 



/,XA= Xi 



Comme, d'autre part, les sommes l].^/"'!" restent toutes 
^M-!S|:ca|'5 on peut affirmer que la suite des éléments {x'ip) 
tend, pour n infini, vers l'élément {x'/^)^ et cela, quel que soit 
l'élément {xk) dont on est parti. C'est pourquoi nous dirons, que 
sous les hypothèses faites, les substitutions A„ tendent vers la 
substitution A. 

72. La série ('21) entre dans un type encore beaucoup plus 
spécial. Etant donnée de nouveau une suite indéfinie de substitu- 
tions (A„), nous dirons qu'elle tend uniformément vers la substi- 
tution A lorsque 

.Ma-a„-vo. 

Dans ce cas, les hypothèses i'^ et 2" sont évidemment renq)lies; 
car la définition des M et l'inégalité (5) du n° 3i donnent immé- 
diatement 

Ma„^Ma+Ma_a„, 
et, d'autre paît, on a 



Par conséquent, la suite (A„) tend vers A aussi dans le sens que 



Io8 (.IIAI'ITHE IV. 

nous avons donné antérienremeni à celte expression. En particu- 
lier, la suite des éléments (j^'" ) tend vers l'élément ( .t[). Mais il y 
a plus. Kn fail, comme 

A = l / =r I 

les (^^'") tendent yb/'^eme/ii vers (^/,); de plus, la convergence 
est uniforme pour tout domaine borné de l'espace hilhertien 
(c'est-à-dire pour tout domaine tel que S| .r^ |-^ G-). 

Voici encore une autre particularilé remarquai)!»- de la conver- 
gence uniforme : on a précisément 

Ma„->Ma. 

Ce fait découle immédiatement de l'inégalité 

|MA-MA„!iMA_A„. 

laquelle résulte é\idemmenl de la définition des M el de l'inéga- 
lité (7) du n" 3i. 

Posons maintenant le problème suixant : Klanl donnée une 
suite (A„), il faut reconnailre s'il existe ou non une substi- 
tution A vers laquelle (A«) tend uniformément. 

Une condition nécessaire pour que A existe découle de l'iné- 
galité 

ISI A„ - A„ 'à M A - A„ -H M A - A„, ; 

cette condition consiste en ce que 
(3o) .Ma„-a,„->o, 

m et n tendant vers l'infini indépendamment 1 un de 1 autre. 

Je dis que cette condition est aussi suffisante. En ellct, supj)0- 
sons qu'elle soit remplie, alors les inégalités 

1 Ma„- Ma„. I ^ Ma„-a,„- I «!';>- «1?" I i Ma,._a„. 

nous assurent que les suites (Ma,,), (^/"■')('' = *? '-^' •••) tendent vers 
des limites déterminées M et Oi/f. Donc les hypothèses i" et 2" du 
n" 71 sont remplies à j)lus forte raison; par conséquent, les a,/, 
sont les coefficients dune substitution linéaire A et la suite (A^) 
tend vers A. De même, toute suite (A,^ — A,„), où l'on sup- 



THÉORIE DES sinsTiTT rioNS mm: MUES A im; imimté de vahiables. 109 

pose ni (ixë, tend, pour 11 infini, vers la subslitiilion limite 
A — A„,. Or, soit t un nombre posilil aihilraiiemenl petit; en 
choisissant m suffisamment {;rancl, on aura, d'après (3o), pour 
tous les « >> m, -Ma„_a„.<C -• Honc, d'après (29), on aura aussi 

Ma-a„.£ï, 

et, |)ar conséquent, poui- m-^yj, 

Ma-a,„-^o. 

Énonçons notre résultat : Pour que la suite des substitutions 
{r^n) converge uniformément^ il faut et il suffit que, m et n 
tendant vers V infini indépendamment r un de V autre, on ait 

Ma„-a„,->o. 

73. En particulier, pour les sommes partielles de la série 
(21), la condition énoncée est remplie. En effet, posons 
Srt= E -h A -h . . . + A""' ; de plus, supposons, ce qui est évidem- 
ment permis, n > m ; on aura S,j — S,„= A'" + A"*"*"' + • . • A""' 
et 

nU)« — (MO'" 

Ms,._s„J M.V.. + . . .-t- .Ma'.-.= ( .\Ia)"' + . . .- (Ma)"-' = — ^^ VT^^- 

l — i^' A 

et lorsque M^-<i, celte quantité tend vers zéro. Donc S» tend 
uniformément vers une snl)stitution limite S. 

Je dis que S est justement la réciproque de E — A. Celte 
assertion esl comprise dans le théorème sui\ant, lequel, à son 
tour, découle innuédiatemeul des inégalités 

MUA-I!A„= Mi;,A-A„ ;SMbMa-A„; MAI!-V„Ii= M A - A,, li i M A - A„ ^B : 

Lorsque la suite (A„) tend uniformément vers A* et que B 
désigne une substitution linéaire quelconque, les suites (BA„) 
et (A«Bj tendent uniformément vers BA* et A*B. 

i*our appliquer cette pro|)Osition à la série (21). j)Osons A„= S,,, 
A*= S, lj := E — A; comme on a 

( li; — A ) S„ = S„( l£ — A 1 = !•: — A" -> E. 
il résulte que 

(E— A;S = S(E- A) = E, 
c'est-à-dire 

S = (E — A)-". 



ciiAPiTm; jv 



74. Énoiirons encore dans cel ordre d'idées la proposition plus 
générale : Lorsque (A„) et (B„) tendent uniformément vers \et 
B, la suite {\„B/i) tend uniformément vers X\). Va\ ellet, on a 
toujours 

i^lAll-A„l!„ = "^'a B-Ii„)-i-iA-A„ H„= '^'A'^ÏC-lt„-i- ^'a A„ M|i„. 

et, par livpollirse. 

Ma-a„^o, Mb-r„->-o, Mii„-vMn. 

On en rond ni rpie 

1^1 Ait - A„ii„— >o, 

ce qu'il fallait démontrer. 

Il ne sera pas inutile de remarquer que la pro|iosition analogue 
pour la convergence non uniforme est en défaut. Pour le voir, il 
suffit de considérer l'exemple sui\anl : A„ : x\ = x,,^ x[=z o pour 
«>[; \^n: x[, = x^^ x\ ^= o pour i^n. Les suites (A„) et (B„) 
tendent vers des substitutions doiil tous les coefficients s'annulent ; 
d'autre part, tous les produits A„B„ donnent la substitution 
C: x', = .3;,, .r)= o pour />i; donc A„B«:=C->C, et C ne 
s'annule pas identiquement. 

Pour compléter ces résultats, énonçons encore la proposition 
suivante ([ue l'on démontre aisément : Lorsque les suites (A„), 
(B„) tendent respectivement vers A, B et que V une ou Vautre 
des deux suites converge uniformément^ Ici suite (A,J΄) tend 
vers AB{^). 

75. Mais il y a encore un autre cas très important où l'on 
peut affirmer que A^B^-v \B. Le type le plus simple de suites 
(A„) qui tendent vers A est fourni par les réduites de A; celles-ci 
s'obtiennent eu annulant dans le lahlcau (c/,/;) tous les éléments dont 
l'un au moins des indices surpasse n. Ln général, les réduites ne 
tendent pas uniformément vers A; ce fait se présente seulement 
lorsque A est complètement continue. Mais, d'autre part, la 
convergence des réduites vers A possède une propriété spécifique 



(') Celte proposition compreiui, en corollaire, la suivante : Lors(jue (A„) tend 
vers A, et que B désigne une substitution linéaire quelconque^ les suites (A„li), 
(B\„) tendent res[)ectiK^enient vers AU et MA. 



THEORIE DES SlIJSTITl TIONS LINEAIHES A LNE INFINITE DE VAIUAIM.ES. III 

esseiilicllf. I.ii ellet, la formule (3) nous apprend que si Ion 
applique siiccessivenient les réduiles à un élémenl (a:"A-), les élé- 
ments qui résultent tendent fortement vers (^^). Intercalons donc 
entre convergence et convergence uniforme la convergence /or/e. 
Soit (A„) une suite de substitutions tendant vers A, et convenons 
de dire que la suite ( V„) lend fortement vers A si, pour chaque 
élément (x/f), les éléments A«(^yt) tendent fortement vers \(xk). 

Je dis (|ue si les suites ( A«) et (B„) tendent fortement vers A 
et B, la suite ( A„B,j) tend aussi fortement vers AB. 

En fait, les cpiantités M^^, M,{_ restant l)ornées, M^^j{_ le reste 
aussi. Tout revient donc à démontrer que les éléments qu'on 
ol)tient en appliquant successivement les substitutions AB — A„B„ 
à un élément (:r/;), tendent fortement vers (o). Ecrivons 
AB — A„B„= (A — A„) B + A/, (B — B„) et considérons ces deux 
termes séparément. Quant à (A — A«)B, la substitution B trans- 
forme {xk) dans un élément (jKa), et (A — A„) {fh) tend, d'après 
riivpothèse faite, fortement vers (o). Quant à A„ (B — B„), 
posons 

(B-B„)(^/i) = ^ri"'), a„(jkS,«') = (4'' ); 

iX^/D t6nd, d'après riiypolhèse faite, fortement \ers (o), et 

comme S| ^^"^ |-^ M^^S|jKa'" |''' (^i'") ^^'^^ ^^'^^^ fortement vers (o). 
Donc le théorème est démontré. 

En particulier, soit A,j la n'^'"" réduite de A et soient A'^, A^ les 
^.ici.ies puissances des substitutions A„etA; d'après le théorème 
que nous venons de démontrer, la suite ('^'^,) tend fortement 
vers A*. 

76. Posons maintenant la question suivante : Etant donnée une 
suite (Art) qui tend uniformément \evs A, on suppose que chacune 
des substitutions A^ admette une réciprocjuc A„. Peut-on en 
conclure l'existence de la réciproque A~' ; et s'il en est ainsi, est-ce 
que A~' est la limite des \^' ? Cette question a des relations intimes, 
entre autres, avec le princi|)e des réduites, comme nous le verrons 
tout à l'heure. 

Su|)|)osons d'abord que les quantités M^,! (n := \ , 2, . . .) restent 
bornées dans leur ensemble. Dans ce cas, la suite (A~') con- 
verge uniformément et fournit la réciproque de A. En elTet, 



1 12 ciiM'irnF. IV. 

on a V;/— \J= \;;'(^/,^— A„) V;;,', et, |>ar conséquenU 

Ma-.-a-. = M.,-, Ma-. Ma,,- a,„. 

Or, dans 1 Inpollièsc faite, le second nienihio de celle inégalité 
lend vers zéro avec iMA„_v,„- Donc il en est de même quant au pre- 
mier mcmlirc ; par conséquent, la suite (A."') tend uniformément 
vers une subslitulion limite, que nous d<''sip,rierons par V*. De plus, 
comme les suites (A„), (A."') lendeiit uniformément vers V et V*, 
les suites (A„A^'), (A~'A„) tendront uniformément vers \ K* et 
A*A. Mais A« A;;'= A;'A„^ E; par conséquent, AA*=: \* V ='E, 
c'est-à-dire que A* est la réciproque de A. 

Inversement, supposons que A admette une réciprocpie \~'. 
Quant à la suite ( \„). nous supposons seulement (ju'elle tend uni- 
formément vers A. Mais nous ne supposons plus lexistence des 
réciproques A"' ; nous rétablirons. Dune façon précise, nous 
allons démontrer que A~' existe pour /i suffisamment grand, 
savoir lorsfjue 

IMa-a„< ' 



Ma- 
En effet, dans ce cas, on a 

Me-a-a„= Ma-.,a-a„)SMv-.Ma_a,.< I ; 

il s'ensuit fjue la substitution A""'A„=E — (E — A~'A„) admet 
une réciproque. En désignant cette iécipro{|ue j)ar B, on a 
BA ' Art^ \i, V~' \/, H =^ E. La seconde équation doit encore être 
transformée; en ninllipliant les deux membres à gaurlie ))ar A 
et à droite par A"', on obtient A„BA~' = E. Donc BV~' fournit 
la réciproque de A„. De ])lus, d'après le n" 6i. on a 

Ma. . = M.iA-.^ MuMa-. = M ,,_A ma-a„>]-.Ma ' ^'' ' 



i-Ma-.Ma_a„ 



et, lors(|ue /) croit ind('linini<iil, ce dernici- niendue lend vers 
M^-,. Donc, à [)artir de // sullisammetit ::rand. les réciproques 
A^' existent et les quantités Ma,,' restent bornées dans leur 
ensemble. Par sulte^ en appliquant le tliéorème ('labli |)récédem- 
ment, on voit que la suite ( A^' ) converge unirormément vers A"'. 
En résumé, étant donnée une suite (Anj gui tend uniformé- 
ment vers A, la réciproque A~' ne peut exister que si, à partir 



THÉORIE DES Sl'BSTITUTIONS MNKAIRKS A UNE INFINITÉ DE VARIABLES. II? 

d^ un certain rang /?, les réciproques A~' existent et les quan- 
tités M 4-1 restent bornées dans leur ensemble ; inversement, 
lorsque cette condition est remplie, la suite (A~') converge 
uniformément et fournit la réciproque V'. 

Signalons encore le ialt le plus essentiel clans noire raison- 
nement; nous nous en servirons plus loin. C'est le suivant : 
Lorsque A ' existe et que M,, est suffisamment petite 
(savoir Mj;<;— — \, la réciproque (A-l-B)"' existe pareille- 
ment. Ce fait constitue en quelque sorte une généralisation du 
théorème du n*^ Oi. 

77. Les résultats que nous venons d'établir permettent, entre 
autres, de légitimer le principe des réduites dans un cas impor- 
tant. Nous avons déjà dit que, en général, la suite des réduites Ah 
de A ne tend pas uniformément vers A; mais on démontre aisé- 
ment que, |)our A complètement continue, la convergence est uni- 
forme ( ' ). Donc, pour A complètement continue, la suite (E — A„) 
tend aussi uniformément vers E — -A. On en conclut que, dans 
l'hjpothèse faite, (E — -A)"' ne peut exister sans que, à partir d'un 
certain rang /i, les (E — A„)~' existent aussi, et que les (E — A„)~' 
tendent uniformément vers (E — A)""', Donc, pour A complète- 
ment continue et si, de plus, (E — A)~' existe, le calcul de 
cette réciproque peut être fondé sur le principe des réduites. 



ÉTUDE DE LA RÉfMPROQlE (E — XA)-1 E.\ FONCTION DE À. 

78. Désignons par a un paramètre complexe et étudions la subs- 
titution E — A A au point de vue de l'inversion. L'avantage de 

( ' ) La réciproque est aussi vraie : Lorsque Ma — a„— >-", A est complètement 
continue. Ce fait est contenu dans la proposition plus générale : La limite d'une 
suite dont les éléments sont des substitutions complètement continues et qui 
converge uniformément est aussi complètement continue. 

Cette proposition embrasse aussi le cas où l'on fait l'hypothèse Mr„— >-o 
{cf. n°67). En fait, les substitutions A„ — f*„+ Q„ sont toujours complètement 
continues, et Mr„— y o exprime que ces substitutions tendent uniformément vers A. 
Donc, A est complètement continue. Par suite, eu égard encore au résultat 
établi au n° 67, Mr„— yo est une condition nécessaire et suffisante pour que 
B soit complètement continue. 

K. 8 



I l4 niAPITRK IV. 

celle élude consisle. enUc autres, dans la façon coni|)réliensivc 
donl elle montrera, sur le même objet, les deux cas |)rinci[)aux. En 
effet, il existe en génériil (ieux catégories de \aleurs). : jjour les 
unes, la substitution E — XA admettra une réciproque; pour les 
autres, elle n'en admettra pas. Celles de la première catégorie 
seront appelées les valeurs ordinaires^ celles de la seconde les 
valeurs singulières. Ces dénominations, empruntées à la Théorie 
des fonctions, seront justifiées par les relations que Tétude 
de (E — âA)~' aura avec celle théorie. Rappelons aussi que, à 
l'occasion de l'étude des substitutions complètement continues, 
nous avons déjà touché j)Our un instant le problème dont il s'agit, 
et que nous y avons observé quehjues faits concernant la nature 
analytique de (E — )sA) '. 

Certains des raisonnenienls qui suivent s'appliquent aussi à 

// 

l'élude de la récij)ro(pie de E — ^//A/,, ou encore à celle de 

quelques autres substitutions, dépendant de ). suivant des lois 
moins simples. Nous nous bornerons à létude de E — À A. 

79. Soit donc A une substitution linéaire, d'ailleurs quelconque, 
et considérons la substitution (E — /,A)~' pour les valeurs a 
où elle existe, c'est-à-dire pour les valeurs ordinaires. Dans cer- 
tains calculs, il sera plus commode d'étudier la substitution A>., 
liée à (E — XA)~' par l'équation 

(3i) (E — XA)-i = E-f-XA),. 

Celle équation détermine A>, univoquement pour toute valeur 
ordinaire, sauf pour A = o ; posons par définition Ao= A, ce qui 
revient, comme iious verrons, à définir Ao par continuité. 

L'équation (3i) écjuivaul à la suivante 

(3u) E-XA =(E^XA>,r'. 

Soient ). cl \x deux valeurs ordinaires du ])aramètre. De (32) on 

lije 

{\x — '/,) E = ;jL( j-^ — /.A>j^' — /. ( E -T- iji A|jj-' ; 

en multipliant chaque membre à gauche par E + àA>,, à droite 



THEORIE DES SUBSTITITIONS LINEAIRES A t. NE INFINITE DE VARIABLES. I IJ 

par E -+- uAui, l'équation devient 

( ;ji — >. I ( E -i- À Ax .) ( E -f- |JL AjjL ) = ;j- ( E -f- ;jl Ajj. ; — >> ( E -h ). A>. ), 
ou alors 

/. -x [ A ■/, — A jj. -f- ( a — }. ) A>, A a ] = (J. 

Supposons A|jip^o. Dans celte hypothèse, notre équation 
donne 

( 33 ) A). — Aj, -- ( IX - X ; A), A,, = o. 

En permutant ). et y., on obtient 

( 34 ) A>. — A a -r- ( ;j. — À y A ,j. A). = o . 

Sur ces deux équations on voit, en parlicuher, que la mulli|)li- 
cation de A), et de Ajj. est comniutalive. 

Supposons, en second lieu, Au. = o; soit par exemple |j. = o. 
Les formules (3.3 ) et (34) subsistent, car 

A — A> -^ À AA>. = A — A>, -\- X A>, A = o. 

En fait, en écrivant (32) d'une façon plus détaillée, on a 

(35; (E — aA)(E-i-XA),) = ( E + aA>j(E — XA ) = E, 

et alors 

— /. ( A — A>, 4- X A A)j = — /. ( A — A>. -+- ■/. A>, .A ) = o ; 

de jjIus. en supposant A ^ o, la division j^ar — A est permise. Le 
cas iJL = /. = o est évident. 

En résumé, les équations (33) et ( 34) sont vraies en tout cas. 

80. \ oici une conséquence immédiate de ces équations. Soit 
donnée une suite de valeurs ordinaires A|, À^, .... tendant vers une 
valeur limite A''. Supposons, de plus, que les quantités Ma-;., 
Max.7 ••• restent toutes inférieures à un nombre M. Je dis que A* est 
aussi une valeur ordinaire. En effet, il suffit de considérer lune 
(juelconque des deux équations pour en conclure l'inégalité 

Mav,„_a-,„.;s|X„— X„, |.M2. 

Par conséquent, quand m et n croissent indéfinimont. 
Ma. -A, ->o; 



n6 



riIAPITRK IV. 



donc, la suite (AiJ tend uniforniénient vers une substitution A*. 

La suite (E4-À«A).„) tend uniformément vers E -i- )/V* . Enfin, 

les suites [[E — a„ V) ( E -h a„ V).„ i] et [( E 4- a« A),J (E — ).„ A)] 

tendent respectivement vers(E — a' A )(^E + A*A*) et (E+ a* A*) 

(E — A* A). Mais les termes de ces deux suites sont tous égaux 

à E; donc il en sera de même quant aux deux substitutions 

limites. C'est-à-dire que E + A* V* n'est autre (|ue la réciproque 

de E-A*A. 

Énonçons notre résultat : La valeur limite A* est. une valeur 

ordinaire^ et 

Ma-,*-a-,„-^o. 

On peut compléter ce résultat en démonlranl le fait suivant : 
Sur tout l'ensemble des valeurs ordinaires, INI^.^ est fonction 
continue de A. Ce fait repose sur l'inégalité 

niA>.-M.,Jl|>.-;j.lMAv,>ÏA, 

qui, à son tour, suit immédiatement de (33) et des inégalités 
I Ma— MbJ^Ma_b; Mab^M^Mu. On en déduit, sous Tliypotlièse 

M,-^ o,M,^^o, 



'-U 



I 
Ml 



donc, sous cette hypothèse, -rr— et alors M^, sont des fonctions 

continues en A. Mais notre hypothèse équivaut à ce que les substi- 
tutions A)., A|jL ne s'annulent pas identiquement. Or, d'après la 
relation A = Ax + aAA)., V), ne peut s'annuler identiquement que 
si A = o. Par conséquent, M^. est fonction continue de A. 

81. jNous venons d'étudier la manière dont se comporte Mw 
sur l'ensemble des valeurs ordinaires du paramètre. Cherchons 
maintenant à préciser le caractère de cet ensemble lui-même. C'est 
un ensemble ouvert, cest-à-dire : lorsque une valeur ). lui appar- 
tient, toutes les valeurs comprises dans un certain voisinage de k lui 
appartiennent aussi. En eflel, lorsque li. est une valeur ordinaire, 
toutes les valeurs A telles que 



A — -x K 



M 



A. 



THÉOniE DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES A LNE INFINITE DE VARIABLES. II7 

le sont aussi." Pour le voir, écrivons 

E — X A = E — -ji A — ( À — ;x) A 

= E — [jiA — ( ). — ;ji)(E— ;jlA)('E -f- [xA^jA 
= E- ;jiA — (À — a)(E — aA)A(j. 
= CE — |jiA) [E — (À — ;JL) Aj;,]. 

Or, quant à ce dernier produit, son premier facteur a une réci- 
proque, nous l'avons supposé, et le second facteur aussi, 
puisque, d'après riivpolhrse faite, M,)_j;.). =|a — a | M 4 << i • 
Donc, E — A V admet aussi une réciproque, qui sera fournie par 
le produit de celles de E — (A — ix) Vj;. et de E — ijl V. La seconde 
de ces deux substitutions a pour réciproque E + j^Ap.; la réci- 
proque de la première est fournie (n" 73) parla série uniformément 
convergente 

E -h (A — ;j. 1 Aa-f- (À — ;jt)2A^.-!-. . . ; 

et alors, en multipliant, il vient 

(E — ).A)-i= E-l-;jiAjj.-+- îx(A— ,a)A,i-+- 'id — [;l)îAu.-(- 

Par suite, Ax admet le développement uniformément conver- 
gent 

A),= A^.-f-(X — ;j.)Aji-h (A — [ji)2Au.-4- 



Observons que Ton aurait aussi pu rattacher ce fait à l'autre 

que pour À-^u le rapport '" ' ~ ' '''• tend uniformément vers A Afj.^', 

c'est-à-dire que Aj^, considéré comme fonction de a, admet les 
dérivées successives A^, 2 A|]., . . ., A"! Ajj"*"', .... 

Les résultats que nous venons d'obtenir peuvent être résumés 
succinctement en disant que, ])our les valeurs ordinaires de )., la 
substitution A), et aussi les autres substitutions y liées, qui entraient 
dans le calcul, monirent les caractères d' une fonction holo- 
morphe en A. 

82. On peut aller plus loin en appliquant à l'étude de A), les 
dirterentes méthodes de la Théorie des fonctions; en particulier, 
on pourra v applifpier le calcul des résidus, .le me borne à in- 
diquer sommairement quehpies résultats que Ion obtiendra dans 
cette direction. 



Il8 CHVPITRK IV. 

Soit D un domaine bordé par un nombre fini de courbes fer- 
mées que l'on pourra supposer analvlicpies. En se ra])pelanl la 
définition des suites convergentes de substitutions, le lecteur 
pourra définir sans ambiguïté l'intégrale (le long de ces lignes et 
par rapport à a) d'une substitution ([ui dépend de A. Et) particulier, 
pour les substitutions que nous envisageons, si la frontière de D 
se compose de valeurs ordinaires de A, les intégrales dont il s'agit 
existent et. de |)lus, on y peut applicpier tout l'appareil classique 
de Caucliv. Supposons cette condition remplie et supposons, de 
plus, que le point A = o soit extérieur au domaine. Nous délini- 
rons les substitutions A^*' par l'intégrale ^^-^^ 1 A~*A>.f/A, prise 
le long de tout le contour ; A" y désigne un nombre entier quel- 
conque, positif, négatif ou zéro. En applicpiant le calcul des 
résidus, on déduit aisément des formules (33) et (34) les rela- 
tions AA(*> == A(*^ A = A(*+') et A'^) A''^ = A(*+' . 

Ces deux relations contiennent en germe une foule de faits 
remarquables. Envisageons les deux substitutions A '^ et A — A^". 
Nos relations donnent, pour /,■ = /= i, 

(A — A ")A"'= A")(A — A'-i;) = o; 

doncjlesdeux produits des substitutions \'", A — A.'' s'annulent, 
ce qu'on exprime aussi en disant que ces deux substitutions sont 
orthogonales l'une à l'autre. D'une façon plus générale, k dési- 
gnant un entier quelconque et / désignant un entier positif, les 
substitutions V^*^ et V — A''^ sont orthogonales l'une à l'autre. 

En multipliant par A'"^ respectivement à gauche et à droite 
les relations A \),— A A — A- \A). = o, A A>, — a \ — a- \>, A = o 
(n° 79) et en ajoutant E aux deux membres, en remarquant de 
j)lus que 

A"'= A "■ A = AA'o) = A"))A^o)A = A'o'AA^o, 

on obtient 

(E — ). A") ) (E ^ À A<o' A),) = (E + X A>.A'0.>)(E — À A ' ) = E ; 

donc, toute valeur de A ordinaire par rapport à V l'est aussi par 
rapport à A"^, et A — A \<'^ admet la réciproque 

E-i-XA'«'Ax=E-}->.A>.A;"'. 
Un calcul analogue montre que A est aussi valeur ordinaire pour 



TllÉORIK niîS SIBSTITLTIONS LI.NÉ.VIRKS A LNft IXKIMTK DE VARIABLES. Il') 

V — \(') et que E -\-W — XV"' ailinel la rcciprocjne 

E + X A) — X A "' A), = E -^ X A> — X A). A «'. 

En posant Ciicorc, pour simplifier l'écrilure, A/'^ = B, \ — A''^ = G 
et en introduisant les notations B), et C), analogues à A>,, on a 

B = A « A = AA'o), G = ( E — A'»' ) A = A ( E — A'») ), 

B). = A>" ' A). = A). A'o' , G), = ( E — A'"' ) Ax = A>. ( E - A<«' )• 

Nous avons déjà vu que BC=:CB = o; des expressions données 
on déduira de même 

BG>. = G>. B = B). G = GB), == B), G). = G), B), = o. 

Nous venons de voir, entre autres, que quand \i existe, B), 
et C). existent toujours aussi. Mais il y a plus. Je dis que 
B)^ existe, sans exception, pour toute valeur A extérieure au 
domaine D et que G), existe pour toute valeur intérieure, même 
quand K est singulière par rapport à V. En effet, en appliquant 

de nouveau le cahuil des résidus, on démontre aisément que, 

, , . . i r ku. d\j. ■. . 

ijour A extérieure, la substitution — — / -^-^ — - et, pour a inle- 

' ' -i ? t: J A — [JL ' l 

, , . . I Z' A 'J. d\i. . (. 

rieure, la substitution — r- / — ■ — r- satisiont respectivement aux 

■iitk J \x — k I 

équations qui définissent B> et G),. Il est aussi facile de voir que 
B), et Gx ainsi prolongées restent orthogonales respectivement à C 
et à B. 

Les faits suivants montreront 1 importance de la décomposition 
de A en B et G. Soit A une valeur intérieure au domaine D, 
d'ailleurs quelconque. Envisageons les deux systèmes d'équations 
à une infinité d inconnues qui correspondent aux substitutions 
E — aA et E — aB, les données {x'/^) étant les mêmes pour les 
deux systèmes. Alors les égalités E — ÀA = (E — aB)(E — À G) 
et E — aB ^ (E — ÀA) ( E + aG>.) indiquent que, à chaque solu- 
tion fin premier système, il correspond une solution du second, 
qu'on obtient en y applicjuant la substitution E — aG, et que, 
inversement, en apj)liquant à une solution du second système 
la substitution E + aG)., on obtient une solution du premier 
système. Mn particulier, (juant aux deux systèmes homo- 
gènes qui correspondent à E — XA et à E — aB, les relations 
E — aB = (E + aG),)(E— AA)etE — X\ = (E — XC)(E — XB) 



CllAPlTHK IV. 



mettenl en évidence que ces deux systèmes admettent précisé- 
ment les mêmes solutions. Ces solutions satisfont aussi au système 
homogène qui correspond à E — A'"'; ce fait résulte immédiate- 
ment de la relation (E — A'»^) (E — aB) = E — V'», c'est-à-dire 
de B = A^o^B. ^lais les solutions de ce dernier sj'stème sont piéci- 
sément les éléments c|u on obtient lor.s(|u On applique la substitu- 
tion V^"' à tout l'espace hilbertien : pour le voir, il sufilt de rap- 
peler lu relation A^^^^: \/o^V'"'. \ppclons ces éléments les 
éléments principaux correspondant au domaine D; alors nous 
pourrons dire que, pour X intérieure, les solutions du système 
homogène qui correspond à E — A A, se trouvent parmi les 
éléments principaux. Mais les éléments piincipaiix jouissent 
encore d'une autre propriété remarquable. La substitution \. 
appliquée seulement à l'ensemble des éléments principaux., 
y définit une correspondance biunivoque. En fait, ces élé- 
ments sont du type A^<')(xa), et comme AA'o'^A^o^A, les 
éléments AA'<'^(.r/;) sont du même type. De plus, comme on a 
AA(-')A(o)= Af-'), AA(o):=A(os la substitution A^-'^ est, mais 
seulement pour l'ensemble considéré, une sorte de réciproque de A. 
Je quitte maintenant cet ordre d'idées un peu trop général, 
mais tout en observant (jue je suis loin d'avoir énuméré complète- 
ment les questions intéressantes qui se j)osent. Je dirai seule- 
ment encore quebjues mots sur le cas où \ est complètement 
continue. Tout d'abord, en rappelant <juc la somme de deux 
substitutions complètement continues ainsi que le produit de deux 
substitutions dont Tune au moins est comj)Ièlement continue, 
donnent des substitutions complètement continues, on reconnaît 
successivement sur l'une ou l'autre des relations que nous venons 
d'indiquer que A),, A^'^^, B), C). sont complètcmeut continues. 
D'autre part, dans ce cas particulier, les valeurs singulières sont 
isolées; nous emj)runtons ce fait au n" 70, mais on pourrait aussi 
le démontrer plus directement. Par suite, si Aq est une valeur 
singulière, on peut choisir pour domaine ]) un petit cercle entou- 
rant /.„. Cela étant, \\ existera pour toute valeur de A. sauf pour 
À^Ao- Ea substitution V^'"', ap|)liquée à tout lespace hilbertien, 
fournira les éléments princij)aux ([ui correspondent à Ao. Mais V'o) 
est complètement continue et l'on reconnaît aist-inenl (|U('. si l'on 
applique à ^espace hilbertien une substitution complrirment 



TlIKORIE I)i:S SLUSriTlïIONS I.I.NKUUIiS A UNK INFINITIÔ DE VARIAIILKS. I'. I 

continue, lès élénienls qui en résultent s'expriment linéaire- 
ment par un nombre fini il'enlre eux. Donc, rétuclc de la 
coiTes|)ondance l)iunivoque dérinle par V pour 1 ensemhle des 
éléments principaux — el alors l'étude de A) au voisinage de Aq — 
se réduisent à celle d'une substitution linéaire à un nombre fini 
de variables et s'achèvent par les méthodes classiques de la théorie 
des substitutions linéaires. 

Les mêmes raisonnements portent aussi sur la transposée ^ 
de A, et les sid)stiUitions ^i, ^'^^, M\-, C), (pii s'en déduisent 
sont les transposées des substitutions A)., A'^^, B),, C), (pie nous 
venons de considérer. 

La méthode que je viens d'esquisser ne se limite pas à la théorie 
dont il s'agit présentement. Le lecteur versé dans la théorie des 
équations intégrales aura reconnu tout au commencement le 
parallélisme qui existe entre nos raisonnements et certaines 
recherches plus ou moins nouvelles qui appartiennent à cette 
théorie ('). Ce parallélisme sexpliquera de suite en remarquant 
que les deux théories, celle des équations intégrales et celle des 
substitutions linéaires à une infinité de variables, entrent comme 
cas particuliers dans une théorie beaucoup plus générale, savoir, 
dans la théorie des opérations distributives (-). 



(') Cf. par exemple le iMémoire de M. Goursat : Recherches sur les équations 
intégrales linéaires {Annales Fac. Toulouse, t. X, 1908, p. ■'>-98). 

(-) Cf. sur ce sujet l'article de M. Pinclierle dans V Encyclopédie des Sciences 
mathématiques, t. Il, vol. 5, fascicule 1. 



CHAPITRE V. 



LA THEORIE DES FORMES OU^DRATIOUES 
\ UNE INFINITÉ DE VARIABLES. 



GENERALITES. LES FORMES QUAnRATIQlES A UN NOMBRE FLM DE VARIABLES. 

83. Dans le Chapitre précédent, nous avons considéré entre 
autres des tableaux (a//;) tels que «/y^ = cihi. Les substitutions cor- 
respondantes montraient certaines qualités particulières que Ton 
aperçuL en étudiant lliermitien 

Mais c'était toujours la théorie générale des substitutions 
linéaires que nous avions en vue, et nos tableaux spéciaux n'y 
jouaient qu'un rôle auxiliaire. Dans ce qui suit, nous nous borne- 
rons à considérer de tels tableaux. Pour simplifier les énoncés, 
nous supposerons en outre les ciiu réels ('), et par conséquent 
aik^^aki'i ce qui nous conduira à envisager les formes (juadra- 
tiques réelles à une infinité de variables 

oc 

/, A = l 

Les résultats que nous allons obtenir s'étendent presque immé- 
diatement aux iierniiliens et aux tableaux et substitutions qui y 
correspondent. 



(') Dans tout ce Chapitre, il s'agira, en générai, des quantités réelles. L'Iiypo- 
ihése contraire sera faite toujours expressément. 



TllliOlUE DES FORMES Ql ADRATIQIES A UNE IXFIMTÉ DE VARIABLES. 123 

8i. Nolrè point de départ sera fourni par des faits bien connus 
concernant les formes quadratiques à un nombre fini de variables. 
Tous ces faits sont compris, en germe, dans le théorème fonda- 
mental (' ) : 

Toute forme quadratique à n variables 

n 

(i) \{x,x) = ^^ aiAXiX/, {aii,= a/à) 

/■,/. = i 

peut être décomposée en n carrés de formes linéaires 

n / " ^ - 

et cela de sorte que 

n / n \ 2 « ' 

(3) 2( 2^^''^0 =2-^^- 

Voici la conséquence la plus im|)orlante de ce théorème. Dési- 
gnons par A la substitution à n variables qui correspond au 
tableau (a^v^), et désignons par E la substitution identique à 
n variables. Cela posé, envisageons la forme quadratique 






elle est bien définie pour toute valeur de A, sauf pour les valeurs 
A =: <j.j. La substitution linéaire qui j correspond est précisément 
la réciproque de AE — A (-). 

En eilet, on peut interpréter les formules (p-) et (3) de la façon 
suivante : Soit Ey la substitution qui correspond à la forme qua- 
dratique 1 ^^IjkX/s \ . Comme, en vertu de (3), le tableau des Ijk 

^s A = 1 / 

(•) Cauchy, Exercices de Mattiématiques, 4' année: l'aiis, 1829, p. i.j;). 

(-) La considération de W. — A, au lieu de E — a A, revient à changer X en - ; 

d'ailleurs, cette modincation n'est pas essentielle, elle est seulement plus conforme 
à l'ordre d'idées que nous suivrons. Entre autres, elle a l'avantage que X = oc 
devient valeur ordinaire. 



124 rilAI'lTBE V. 

est orthogonal et norme, on a évidemment E j = Ey et E,Ey=o 
pour /='7 : enfin on a E, 4- Eo -|- • . • -h E„ = E. D'après (a) on a 

A = ;-ii E, — . . .-H ix„\:„: 
donc 

aE — a = (A — ;i, )E, -^. ..-4-(A— |x„)E„. 

J^ antre part, à la forme (piadratirpie (' 4 ) correspond la substi- 
tution :: — - — -4- . . . -i- - — — Le |)roduil de ces deux substitutions, 

qui est évidemment commutatif, donne E, + . . . -^ \\„ = I-'.. l'ar 
conséquent^ elles sont les réciproques l'une de l'autre. 

Ce raisonnement ne suppose pas A léel. Donc (4) donne Tex- 
pression de (âE — A)~', ou pbis précisément de la forme quadra- 
tique correspondante, pour toute valeur ordinaire du jjaramèlre 
complexe A. Mais elle met aussi en évidence les valeurs singulières 
A = |i.( , |j.2, .... 'J./1 et, en même temps, elle montre comment se 
comporte la substitution ().!•] — A)"' au voisinage de ces valeurs 
singulières. 

Brièvement, dans le cas dun nombre fini de variables, la dé- 
composition (2) de la forme (1) fournit sur-Ie-cliamp la solution 
de tous les problèmes qui concernent la réciproque de ÀE — A. 
En sera-t-il de même pour une infinité de variables? Oui. 
M. Hilbert a démontré, dans son Mémoire déjà bien des fois men- 
tionné, que toute forme quadratique réelle et bornée à une infinité 
de variables peut être décomposée d'une façon analogue à (2) 
et (3); seulement, en général, au lieu des sommes finies, il faudra 
se servir de deux sortes d algorithmes illimités. D'une part, on 
aura à sommer une infinité dénombrable de termes analogues à 
ceux de (2) et (3), et. d'autre part, il faudra intégrer par rapport 
à un paramètre continu. J'ai observé ailleurs que 1 on peut réunir 
ces deux procédés en utilisant la notion d'intt'-grale de Slieltjes, 
et que cette façon d'énoncer le théorème de M. Hilbert présente, 
pour la dtîmonstratiou, (pielques avantages ('). 

80. Avant de passer définitivement aux formes (juadratiques à 
une infinité de variables, retournons encore une fois à la forme (i) 

(') ]'()ir ma lellre adressée à M. Hilbert : Ueber quadratische Foriiicn von 
unendlich vielen l'erànderliclten {Xachrichtcn Ces. Wiss.. GiJllingen. 1910, 
p. 190-195). 



THEORIE DES FORMES QUADRATIQUES A UNE INFINITE DE VARIABLES. li) 

et à la siilïsliliilion A ([iii v correspond. Soient A-, A'', . . . les 

, E 
puissances de cette substitntion ; d'après les formules EjEy = 

pour i~^j, il y correspond évidemment les formes qua^dratirpies 

n / n \ 2 n / n \ 2 

j = i \/t = i J /--i \a-i / 

Soient, de plus, Vq, v,, ..., v,- des nombres réels, d'ailleurs 
quelconques; posons Vq H- v, u. -f- • • • -h v^a'' = y( ul). Cela posé, 
envisageons la substitution Vq li. + v, A-r- ••H-V;- A''; moyennant une 
écriture symbolique évidente, elle pourra être désignée pary'(A). 
Il y correspond la forme quadratique 

n >' n \ 1 

La valeur de cette expression sera, d'après (3), une certaine 

n 

moyenne des valeursy(u.i ), . . ., /(jj.,;), multipliée encore par \ x'I. 

k = l 

Observons d'autre part que la plus petite et la plus grande des 
quantités ui.y sont égales respectivement au minimum ni et au maxi- 

n 

nium M de la forme (i), variée sous la condition ^ x]. ^ i ; ce qui 

découle immédiatement de nos formules de décomposition. Par 
suite, Vensemble des valeurs de la forme (5), variée sous la 
même condition^ est tout entier compris entre les deux valeurs 
extrémales de f{'^) dans l'intervalle (m, M). 

LES FORMES QUADRATIQUES A UNE INFINITÉ DE VARIABLES. 
SUITES ET PRODUITS SYMBOLIQUES. 

86. Soit (tti/f) un tableau à double entrée, réel et symétrique 
en /et /,'. Envisageons la forme quadratique 



(6) A(x, x) = \^ ttikXiXk 

i, k = 1 

et ses réduites 

n 
{\{x,X)]n= 2 ^''<^i^l' 



126 (:iivi>iTiifc V. 

Je fais Ihypothèse qu'il existe un nombre positif M de sorte que 



\[\ix,x)]r,\^^i^crl 



quels que soient /) et les x/,-. Quand cette livpothrse est remplie, 
nous disons, avec M. Hilhert, que la forme (6) est bornée ('). 

De plus, associons à la forme quadratique (6) la forme bili- 
néaîre 

k{x,y) = ^ OikXiyk 

i. k = 1 

et ses réduites 

n 

[ A ( :r, j- )J'i = 2 ^^""^'y''- 
i. /. = 1 
On a évidemment 

4l[A(.r. r)].,| = \[X{x-hy,x^y)]n—{\{.r—y, T—y)]„\ 



= lyi^jxl^yl). 



Par conséquent, lorsque \ x^. S i , ^ J^^ = ' ' ^" '^ aussi 

|[A(a',.r)]n| = M. 

Donc, à cause de riiomogénéilé, on aura, dans le cas général. 



/, = 1 / -. 1 



{') Il convient d'observer que, en exposynl ses recherches, .M. Hilbert se 
place d'abord dans l'ordre d'idées le plus général possible; sans faire aucune hypo- 
thèse sur l'ordre de grandeur des coefficients a,j, il envisage la forme (6) comme 
un symbole pour l'ensemble des réduites. Cf. aussi la Note de M. Le Roux. Sur 
les formes quadratiques définies à une infinité de variables ( Comptes rendus, 
10 janvier 1910). dont l'ordre d'idées est moins général, mais plus accessible au 
calcul. 



THliORIE DES FORMES QLAORATIQl ES A LNE INFIMTÉ DE VARIABLES. 

Posons en [larlicnlicr 

n 



il Vient 



V 



k^.\ J A = I 

C'esl-à-(lire que, dans l'Iiypollièsc faite, il correspond au tableau 
(«/a) une substitution linéaire A et l'on a M^^M. On en conclut 
aussi, d'après le n° 58, que pour tout élément {xk) de l'espace hil- 
bertien, la série à double entrée (6) converge vers une limite déter- 
minée, ne dépendant |)as de la manière dont on passe à la limite. 
VLn particulier, 

Inversement, soit A, une substitution linéaire à une infinité de 
variables, aux coefficients aïk réels et symétriques en i el k. Soit M^ 
la borne de A. On a, par définition, 

X ,' n \ 2 'Il 

i = l \ k-\ / h = \ 

et l'inéealité de Cauchv-Lasranoe donne 



\\^k(x,X)\n 



2( 2""'^^' 



^k 



M.2 



^l 



Donc la forme ((5) est bornée. 

En résumé, étant donné le tableau réel et symétrique (a//;), les 
deux hypothèses suivantes : r' il y correspond une forme qua- 
dratique bornée A (a:, .r); 2" il y correspond une substitution 
linéaire A, sont é(|uivalcntes l'une à l'autre, et la borne M^ de la 
substitution est en même temps la borne supérieure de | A(:r^ .r)|, 

variée sous la condition \ :c^= i . 

87. Soit maintenant à considérer une suite A,, Ao, ... de formes 
quadratiques bornées; sup|)osons que les substitutions qui v cor- 
respondent tendent vers une substitution A ( n" 71). Dans ces 
conditions, on aura aussi, d apr«''s le n" iO, 

il) A„fr,7J-^ A(.r,jK) 



I'28 niAPITRIi V. 

et en parliciilier 

A„(.r, x)—y\(x, x). 

Inversement, on peut supposer que celle dernirre relation ail lieu 
pour tout élément (^a)- Donc, à plus forte raison, les réduites et 
alors, les coeliîcients des formes A„ convergeront aussi vers ceux 
de A. Par consé([ucnl, en supposant encore que les quantités 
M^^, M^, . . . restent bornées dans leur ensemble, on pourra affir- 
mer que les substitutions Ai, Ao, ... convergent vers la substi- 
tution A. 

Soient de plus A(x, x) et H(jc, x) deux Cormes ({uadratiques 
bornées, A et B les substitutions (pii y correspondent. Leur pro- 
duit AB ne donne pas iiéccssairernenl lieu à une forme (piadra- 
li(pie, car le tableau des coefficients n'est pas nécessairement 
symétrique en i et k. Pour qu'il le soil, il faut et il suffit évi- 
demment que AB=:BA. Dans ce cas, nous appellerons la forme 
quadratique 

' ;XK 



kB{x,x)^ BA(a7, x) =2( 2 "'/'^■/'2 ^''' 

\e produit symbolique des formes A et B. 

Nous aurons à nous servir du fait suivant : Lorsque 

tS.n{X, x) — >- A ( X, X ) 

et si, de plus, les quantités M^^, M^, ... restent bornées dans 
leur ensemble, on a aussi 

(8) \„n(x,x)^\B(x,x). 

On pourrait rattacber ce fait aux raisonnements des n"^ 71 et sui- 
vants; mais il découle aussi de la formule (7), en y posant 
{y,) = B{x,). 



LES FONCTIONS SYMBOLIQUES D INE FORME QUADRATIQLE. 

ÉTUDE DE LA COnilESPONDANCE 

ENTRE LES FONCTIONS DINE VARLVBLE ET LES FONCTIONS SYMBOLIQUES. 

88. Soit A une substiitiiioii linéaire réelle et symétrique à la 
fois. Les puissances A-, A'', ... le seront également, et il en sera 
de même quant aux jiolynomes /(A) = Vq L + v, A -f- . . . -j- v,. V''. 



TIIKORIK DES KOH.MKS QUADRATIQUES A UNE INFINITÉ DE VAIUABLES. lîQ 

A chacune des suhslilulions E, A, A-, ..., /(A) correspond 
une forme (jnadralùiiie hornée E (x, x)^ A {x, x), A- (x^ a?), . . ., 
f(A)îx,x). Nous parlerons, pour abréger, des formes quadra- 
tiques E, A, A-, ..., /(A). 

Soit \,i la n'''"'" réduite de la substitution A; elle peut être envi- 
sagée soit comme substitution à une infinité de variables, soit 
comme substilutio'i à n variables. Tl y correspond une forme qua- 
dratique à n variables qui n'est autre que la /i"""" réduite de la 
forme A (jc, x). De inème, les puissances A,-^, A^^, ... et les 
polynômes f{\,i) donnent lieu chacun à une forme quadratique 
à n variables : A^ {x, x), . . ., /(A„) (x, x). 

D'après le n" 7o on a, pour tout élément (o^a), 

(9) /(\„)(a;,x)-^f(A){x,x). 

Cette relation nous |)ermet d'étendre le théorème du n'^ 85 aux 
formes quadratiques à une infinité de variables. En fait, soient nin 
et M,j le minimum et le maximum de la forme A«, variée sous la 

n 

condition E^j ^ ^ a?^ = i ; ils sont évidemment compris entre la 

borne inférieure m et la borne supérieure M de la forme A, variée 
sous la condition E =: i . D'après le théorème à étendre, lorsque [jl 
varie de nin jusqu'à M,;, y(A,j)(>r, x) reste comprise entre les 
valeurs extrêmes de f (u.) E„ (ic, x). En passant à la limite et eu 
égard à (9), on voit que : 

L'ensemble des valeurs de. la forme f{\), varice sous la con- 
dition E=i, reste compris entre les deux valeurs extrêmes 
de /(y.), 'j. variant dans L' intervalle (ni, M). 

En particulier, lorsque / {[t-) reste > o dans tout l'intervalle 
(m. M), y (A) sera une forme quadratique positive. 

89. Nous venons de faire correspondre à chaque polynôme y (lu.) 
une forme quadratique bien déterminée /(A.). Cette correspon- 
dance jouit des caractères suivants : 

I. i-lle est dist/iùutive, c'est-à-dire que, pour -j = Cif^ -f- Co/^î 
(,ua'^(A) = c,/,(A) + c,/o(A). 

II. L'ensemble des valeurs de y(A), lors(juc E =; i , /este 
compris entre les valeurs extrêmes de f(]ji). 

R. 9 



CHAPITRE V 



111. Elle csl multiplicative : an j)roiliiil cllcclif des deux ionc- 
tious fi, fi correspond le prodiiii .symholicjiie des formes y,(A), 
/.(A). 

Nous allons voir (|ue Ion peiil étendre la correspondance 
à un champ fonclionnel l)ean(un|) j)lus \asle, et cela de sorte que 
les trois propriétés énoncées subsistent. 

Le passage des j)oljnomes aux f()iictit)ns continues est immé- 
diat. D'après le théorème bien connu de Weierslrass, toute fonc- 
tion continue dans l'intervalle (m, M) y peut être approchée 
uniformément par une suite de polynômes. Or, à tonte telle suite 
correspond une certaine suite de formes c|uadratiques, et, d'après 
ce qui précède, cette suite converge aussi uniformément. Donc 
elle admet une forme limite, cjue Ion fera corres|)ondre à la fonc- 
tion continue donnée. On voit sur-le-clianij) (pie la forme limite 
ne dépend pas du choix [)articulier de la suite par laquelle on 
approche la fonction donnée. 

On se rend aussi aisément compte de ce «pie, pour la coriesjxtn- 
dance ainsi établie, les'propriétés énoncées subsistent. 

Cependant, pour les raisonnements qui suivent, la considération 
des fonctions continues ne suffit pas. jNous allons étendre la cor- 
respondance à un champ fonclionnel contenant, onlie les fonctions 
continues, certaines fonctions discontinues. Il est manifeste que, 
pour y arriver, il faudra renoncer à l'emploi exclusif des suites 
uniformément convergentes ('). 

90. Envisageons une suite de polynômes [/«(.'J-)]; nous suppo- 
sons que l'on ait /, (|jL)f;/2(u);^/3(;ji.) . . ., sur l'intervalle (m. M); 
ce que nous exprimerons en disant que la suite est croissante. 
De plus, nous la supposerons bornée. Cela étant, la suite tend. 



(') F/idée analogue d'envisager la correspondance entre les fondions d'une ou 
de plusieurs variables et les fonctions symboliques de certaines opérations fonc- 
tionnelles fut appliquée récemment avec succès par M. Volterra à létude des 
équations intégrales et d'un type mixte d'équations fonctionnelles (équations 
intégro-différentielles), dans une suite de Notes imprimées dans les Atti delta 
R. Accademia dei Liiicei. \'oir aussi les Leçons sur les équations intégrales et 
tes équations intégro-différentieltcs du même auteur qui viennent de paraître 
dans celte Collection. Il convient d'ailleurs d'observer que .M. Volterra se limite 
aux fonctions analytiques; ici, au contraire, la considération des fonctions dis- 
continues est essentielle. 



THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES A UNE INFINITÉ DE VARIABLES. l3l 

sur l'intervalle (m, M), vers une fonction bornée /(t^)- D'autre 
part, en vertu de I et II, les formes /„ (A) constituent aussi une 
suite croissiinte et bornée; elle restent ^E x borne sup. de fi'J-). 
Vav conséquent, les/„(A) tendent vers une forme limite, laquelle 
reste aussi ^E x borne sup. de /(a.). 

Convenons de désigner la forme limite par/(A) et de l'atlaclier 
à la fonction /(u.). Pour légitimer cette convention, il faudra 
démontrer que la forme limite ne dépend que de la fonction 
limite. D'une façon plus détaillée, il faut démontrer que lorsque 
deux suites croissantes de polynômes [///(p-)], [o"([^)] tendent 
vers la même fonction limite, les formes /„ (V), ^«(\) tendent 
aussi, à leur tour, vers une même forme limite. 

Le fait à démontrer est contenu dans le résultat un peu j)las 
compréhensif que nous allons établir. Soient [/«(jtJ-)]' [o"(î^)] 
deux suites croissantes et soient f{^) et «(a) leurs fonctions 
limites. Supposons de plus que /(|^) = ^([J>-)- Cela étant, je dis que 
/(A)^w-(A). En effet, soit /,„(|Jl) un polvnome quelconque tiré 
de la première suite et soit s une quantité positive arbitrairement 
petite. Supposons m et s fixes et parcourons la suite [^«(jJ-)]- 
Pour n suffisamment giand, on aura ^«(j^) >/m ( p-) — ^, puistpie, 
dans le cas contraire, les valeurs ]x telles que fm{\^) — ^^S'ii'i'-)^ 
/m{^) —^ = g'2{lf-), etc. constitueraient une suite d'ensembles 
fermés, dont cliacun contiendrait les suivants, et il j aurait au 
moins un point ijl* contenu dans tous ces ensembles; donc on 
aurait f{^*)'>/m{[t-*) — £^ ^(jx*), contrairement à l'hypothèse 
faite. Par conséquent, on a pour n suffisamment grand /,„ — ^<.gn 
et alors /,„ (A) — sE ■< o„ (A). Cette inégalité entraîne 
y,„(A) — £E-<^(A) et, comme m et s sont arbitraires, il en 
résultey(A ) f^ i,'( A) ; ce qu'il fallait démontrer. 

Le fait que la forme limite ne dépend que de la fonction limite 
correspond au cas où f^g\ il se rattache au résultat que nous 
venons d'établir, en rem|)laçant régalitéy=: ^ par les deux inéga- 
lités /<-, -</. 

Ainsi, la correspondance entre /(jj.) et /(A), établie d'abord 
pour les polynômes, s'étend, d'une façon bien déterminée, 
à toute fonction bornée cpii est la limite d'une suite croissante 
de polynômes. Il est manifeste qu'on |)eut aussi l'éleiulie aux 
fonctions limitcvs des suite's décroissantes; pour cela, on n'aura 



l32 CHAPITRE V. 

qu'à chanjïer les signes. Mais il v a |)lus. Soient / et g deux 
fonctions du tvpe que nous venons d'étudier; alors la fonc- 
tion h=f-]- g sera du même type et Ton aura aussi évidemment 
h{A) =f{\) -\- g{\); au conlraire, la fonction '-^/ — g ne 
sera, en général, ni du même type, ni du type opposé. Convenons 
de poser, par définilion, 'j(:V)=/(.\) — g'{-'^)- Pour légitimer 
cette convention, il faut montrer que, lorsque y — g ^ f* — g* ^ 
on a aussi 

/(A)-^^(A) = /*(A)-^*(A). 

Or. l'hypothèse faite s'écrit f -^ g* z=.f* -\- g-^ maintenant, les 
deux membres entrent dans le type que nous venons d'étudier. 
Donc, on aura 

/(A) + ^"-*(A) = /*(A)-r-^"-(A) 

et, |)ar conséquent, 

/(A)-^o.(A)=/*(A)-r(A). 

La convention est légitime et notre correspondance se trouve 
prolongée aussi aux fonctions du type f — g. 

La correspondance ainsi prolongée ne cesse pas de jouir des 
propriétés I^ II, IIL Tout d'abord, elle est évidemment distribu- 
tive; de plus, elle a la propriété II : V ensemble des valeurs de 
la forme cp(A)=:/(A) — ^"( A.) reste compris, pour ¥j[x,x) = i , 
entre les bornes inférieure et supérieure de ç(|J^). En fait, soit, 
par exemple, c la borne inférieure; on a f{\x)'^g[\x)-\-c et, par 
conséquent, y( A)^^( A) -|- cE, c'est-à-dire c5(A)^cE. Même 
raisonnement pour la borne supérieure. 

Enfin, la correspondance prolongée jouit aussi de la pro- 
priété III : elle est multiplicative. Evidemment, sans restreindre 
la généralité, il suffira de démontrer cette proposition pour deux 
fonctions /{\J~) et g ('(f-) qui sont les limites de deux suites 
croissantes de polvnomes [fn {'->■)]■, [o«("-'')]' ^'^ plus, on pourra 
supposer les fonctions J\ g,/„, g/i d'être positives, ce qui revient 
à y ajouter des constantes convenables. 

91. Cela étant, envisageons la suite des fonctions [f (l^-) g n {}>-)]', 
elle tend, en croissant, vers la fonction /(îJ-)^(jJ-)- Toutes ces 
fonctions étant des fonctions limites de suites croissantes de poly- 
nômes, il Y correspond des formes bien déterminées que nous 



THÉORIE DES FORMES QUADK.VTIQt KS A INE INFINITÉ DE VARIUtLES. 1 33 

désignons par /f,i{\), /g{\). Je dis que 

(9) /^-«(A)^/«-(A). 

En effet, soit />(|jl) lin polvnome quelconque <C/(iJ-)o ( ;^- ) ; les 
points où /„,(ul) o„(ul) ^/^(u) forment un ensemble fermé F,„ „; 
l'ensemble F« des points où /(ui.)^„(a) ^/?([x) étant l'ensemble 
limite des ensembles fermés F,.„, F^,,;, . . . dont chacun contient 
les suivants, sera aussi fermé. Enfin, chacun des ensembles fermés 
F,, Fo, ... contient les suivants; donc, les ensembles F„ doivent 
s'évanouir à partir d'un certain rang n; car, dans le cas contraire, 
ils admettraient au moins un point commun a* et l'on aurait 
f(^*)g['x*)^p('x*), contrairement à l'hypollièse faite. Par consé- 
quent, il faut avoir, pour n suffisamment grand, /"(|ji.)i?„(|J.)>>/)(u), 
ce qui enlraîney^„( A ) ^p ( V), et par conséquent 

(10) lim/^„(A)>/?(A). 

n = 00 

Or, soit [/'/(('-'j] une suite croissante de polynômes tendant vers fg 
(par exemple pn^fj^gn), le raisonnement fait s'applique à tous 

les polynômes pniY') 1 et P^i' conséquent 

(11) lim/^"-„(A)> lim L„(A)-iEl = fg{\). 

D'autre part, on a, [)our tous les /?, fg'n{^-)=fg{]^)^ et, par 
conséquent, y"^„( A) ^yo( A) ; il en résulte 

(12) lim/^„(A)</«-(A). 

Enfin, en comparant les inégalités (i i) et (12), on obtient le 
résultat indiqué (9). 

Ce résultat établi, le raisonnement sera achevé tout à l'heure. 
En effet, la correspondance étant multiplicative pour les poly- 
nômes, on a 

/„,(A)^„fA)=/„,^„(A), 

et, alors, en vertu de la formule (8), 

/(A)^-„(Â)=/^"'„(A). 



l34 CIIVI'ITIΠV. 

La même formule («S ) donne 

/(A)^„(A)-v/(A)«-(A). 

Par conséquent, on a 

/,-„(A)-v/(A)^-(A). 

En comparant celle formule à la formule (()), on obtient 

/^(A)=/(A),^-(A), 

c'est-à-dire que la correspondance est multiplicative. 

Ajoutons encore une remarque (|ue nous utiliserons plus tard. 
Le raisonnemenl qui nous a servi à établir la formule (9) implique 
aussi la proposition plus j^énérale : Lorsqii une suite de fondions 
du /j^/^e y (c'est-à-dire bornées et limites de suites croissantes de 
polynômes) tend en croissant vers une fonction de même type, 
les formes correspondantes tendent vers la forme qui corres- 
pond à la fonction limite. 

92. Il nous resterait encore à caractériser d'une façon plus 
détaillée le champ fonctionnel élargi. Comment reconnaître si une 
fonction donnée j appartient ou non? Mais nous n'avons pas à 
insister sur cette (|ueslion bien intéressante, intimement liée à 
l'étude des fondions dites semi-continues. Pour les applications 
qui suivent, quelques remarques suffisent. Je dis que : i" toutes 
les fonctions continues., 2" toutes les fonctions bornées et limites 
de suites croissantes ou décroissantes de fonctions continues 
appartiennent à notre champ. Les premières sont en même temps 
du type / et du 13-pe — /; les fonctions limites de suites crois- 
santes sont du type / et celles de suites décroissantes sont du 
type — /. En efTet, soit /"(a) une fonction continue, et soit />« (a) 

un polynôme qui approche la fonction /(u.) '^^ à -^^ près; la 

suite [/^«(l^)] lend en croissant vers f{'^). Pour une fonction qui 
est la limite d'une suite croissante de fonctions continues fn{^), 

on choisira le polynôme />,, (u.) de sorte quil approche à -^ près 
la fonction continue y'„( a) • 



TIIEOIUE DES FORMES OlADRATIOr ES A UNE INFINITE DE VAlUAItl.ES. i3j 

Ari'I.K.ATlOX DE I.A COHRESl'ONDAXCE 
AU CAI.CCL DE I.A KÉCII'ROyi E (ÀE— A)-' ET A I.'ÉTLDE DU SPECTRE. 

9)^. La corres|)Oi)dance cnlre les fond ions /{'J-) el les formes 
qiiadraliqiies /"(.V) que nous venons d'établir, fonrnira siir-le- 
champ la réciproque de /Ai — V et aussi d'autres formes quadra- 
liciiies t|ui lui sont liées et rpTon appelle \es fo/nics spectrales. 

En effet, soit A une qiiantiti' it-elle située au dehors de l'inter- 
valle (m, M). La fonction J'(<j.)=z- étant continue sur l'in- 
tervalle (m, M), il j correspondra une forme y( A). D'autre part, 
à la fonction o-(^<j.) = 'k — a correspond la forme ÀE — V. Enfin, 
au produity(uL)^(iji) := i correspond la forme E. Par conséquent, 

/•(A) ,:XE _ A) = (X E - A)/( A) = E; 

c'est-à-dire, la substitution /{-^) est la réciproque de ÀE — A. 

Pour X complexe, on raisonnera en séparant, dans / et g-^ les 
parties réelles de celles purement imaginaires. Soit y, (•jl) + i/2(^) 

la forme décomposée de y'(u.)= ; ; nous jjosons, par défi- 
nition, y ( A.) =y, ( \) -f- i/2{\).ha substitution y(V) ainsi définie 
sera la réciproque de ÀE — A. 

En résumé, la correspondance entre les fonctions continues 
fi'j.) et les formes y(A) permet de conclure l'existence d'une 
réciproque (ÀE — M"' pour toute valeur du paramètre )., sauf 
pour celles situées sur Taxe réel et comprises entre m el M. De 

plus, chaque suite de fonctions continuesy,j( u.) (jui tend vers ; 

uniformément ou de sorte (|ue la série 5[ /„^,([ji.) — fn^'^)\ soit bor- 
née, fournit un procédé pour calculer la réciprocjue (ÀE — V)~'. 
Ainsi, en particulier, pour les valeurs assez grandes de |À|, on a 

().E — A)-i= ^E-^ .^A-+- A A2h-..., 
X /;■' A» 

conformément au n" 73. 

94-. L'emploi de fonctions discontinues nous permettra de 
pousser plus loin l'étude de notre correspondance. Soit y([Ji.) 



iSf) CHAPITRE V. 

une fonction conliniie dans I iiilcrvalle (/«, M), exlrémilés com- 
prises. On peut suj)poser" fpie la fonction soit définie de — x 
à-f-co; on coniplélera la délinilion en posant. |)ar exemple, 
y(u)=/(m) pour !j. <; /» et /{•j.)=if{M) pour |jL>>iM. On 
j)0urrait aussi rester dans Tinlervalle (ni, M); mais, dans ce cas, 
l'éciiture aurait quchpies inconvénienls. En tout cas, il suffira de 
considérer, au lieu de ( — oc, + x), un intervalle fini (/// — s, M -j- z), 
e désignant une quantité positive arbitrairement petite. Pour fixer 
les idées, nous nous servirons de l'intervalle ( — x, -hx). 

Cela étant, décomposons rinlerv.die ( — x, x) en des inter- 
valles partiels I;;. (A- variant de — x à +x), de sorte que Toscil- 
lation dey(ij.) dans chacun de ces intervalles soit ^ o). Désignons 
par <Xk un point arbitraire de l'intervalle Ia. .le définis la fonction 
discontinuey comme suit : /"' =: /"(^a/,) à l'intérieur et à l'extré- 
mité gauche ç^ de rintervalle Ia et cela pour tous les A". La fonc- 
tion y étant la limite d'une suite croissante de fonctions conti- 
nues, la correspondance établie lui attache une forme bien déter- 
minée y '(A). Introduisons encore les fonctions /^([jl) coordonnées 
à chaque |)oint ^ et définies comme suit : ff(^x)= i pour u -< ; 
et = o pour [A^ç. Pour simplifier l'écrit iire, nous jjosons 
yç(A) = Af. Pour i^wi, on aura A? = o et, pour ç >> M, on 
aura A^ = E. 

Cela posé, on a évidemment 

et par conséquent 

D'autre part, la difiérence /' — f étant com|)rise entre — (o 
et to,/(A) — y'(A) sera comprise entre — toE et toE. Par suite, 
en calculanty'(A), on aura aussi calculé, à wE près, la fonney*(A). 
C'est-à-dire, le second membre de (i3) donne une expression 
approchée, à oj E près, de la forme , /"(A). Or, on j)eut sup))oser 
la (pianlité ui arbitraircmcMit petite; pour cela, on n'aura fpi'à 
choisir suffisamment petite la longueur des intervalles Ia. 11 en 



THÉORIE DKS l'ORMES QUADRATIQUES A UNE IXFIXITK DE VARIABLES. I Sj 

résulle, en passant à la liinile, 

(■1) f{X)=f'^'f(:;)d\y. 

où nous entendons, par ce dernier symbole, la limite de l'expres- 
sion (i3) pour 10— ^o. (Ze n'est pas une intégrale au sens ordi- 
naire, mais la manière dont elle vient d'être définie est tout ana- 
logue à la définition classique de Riemann. La forme Aï(.r, x) y est 
envisagée comme lonclion du paramètre ;, et notre intégrale (i4) 

est du ly|)e / /'(;)<ia(ç), considéré pour la première fois par 

Stielljes dans son célèbre Mémoire Recherches sur les fonctions 
discontinues ( ' ). 

Quelques remarques suffiront pour faire voir la nature de l'inté- 
grale de Stieltjes. Lorsque a(;) = ç entre a et b et constante 

d'ailleurs, on retombe sur Tinlégrale / f[\)d\. Lorsque /(i) ^l 

y.i\) sont continues et que a{;) admet une dérivée a'(ç) dont elle 

est l'intégrale indéfinie, l'intégrale f[q)dy.(q) se transforme 

immédialemenl dans l'autre : 1 f(^) a' (^)dq. Le grand avantage 

(|ue présente la notion de Stieltjes consiste en ce qu'elle s'applique 
aussi à des fonctions a(ç) qui ne sont pas intégrales indéfinies, et 
qu'elle s'adapte même à certaines fonctions discontinues. Ainsi, 
par exemple, étant donnée une infinité dénombrable de valeurs 
distinctes ça et des valeurs correspondantes a^ telles que S|<://,| 
converge, ou définira une fonction a(;) en posant 

la sommation s'élendant à tous les k tels que ç^ <C ;• Sous cette 
hypothèse, l'intégrale 

existe pour toute fonction continue et bornée /( ç), et elle fournit 

(') Académie des Sciences: Mémoires présentés par diiers sat'a«/s, t. WXII, 
n" 2. — Annotes de la Faculté des Sciences de Toulouse, l. VIII, i8f)i, p. 1-122; 
t. IX, 1895, p. 1-47. 



l38 CIIAIMTRK V. 

la somme de la série 

/, 

95. He\eiions à la rormulc {\ \ ). Elle donne l'expi-ession analy- 
tique, analogue à (à), de toute forme /(A) correspondant à une 

fonction ronlintie /( 'j^ ) ('). l'^n particulier, en posant y (|i.)=z . , 

il vient 

(15) (XE-A)-i= / ^— ^. 

Cette formule porte sur toute valeur de A, sauf peut-être sur 
les valeurs réelles. Grâce à une convention que nous allons faire, 
elle jiortera aussi sur toute valeur réelle et ordinaire, c'est-à-dire 
telle que la réciproque ().E — A)~' existe. En fait, convenons de 
supprimer, dans l'expression approchée (i3) de l'intégrale (i4),les 
termes tels que A^^^, — A^a s'annule; pour les fonctions /([J-) qui 
ne deviennent pas infinies, le sens de l'intégrale n'en sera pas 
modifié. Cette convention faite, on voit d'abord sans difficulté 
que (i5) est applicable pour toute valeur de A située au dehors de 
rintervailc (m. M); en cllet, dans le voisinage de H = )^, A? reste 
constante. Je dis que (i5) tient pour toute valeur ordinaire de A. 
Supposons, en fait, que la fonction non décroissante de ; A? ne reste 
constante dans aucun des intervalles qui contiennent A; en parti- 
culier, elle ne le restera pas dans l'intervalle I = ()> — //. A + h). 
Posons f(^) =^ I à l'intérieur et à l'extrémité gauche de I et zéro 
d'ailleurs; ou a évidemment /-(u) =/(|ji) et, par conséquent, 

(') Il va ici lieu d'observer que la correspondance considérée entre dans la 
catégorie des opérations linéaires, dont M. Uadamard a donné l'expression ana- 
lytique comme limites d'intégrales [Sur les opérations fonctionnelles {Comptes 
rendus, 9 février 1908)] et que j'ai réussi à exprimer par une seule intégrale, en 
utilisant l'inlégrale de Stieltjes [5m/- les opérations fonctionnelles linéaires 
{Comptes rendus, 29 novembre 1909)]. Cf. aussi le Mémoire plus détaillé: 
Sur certains systèmes singuliers d'équations intégrales {Ann. de l'Ecole 
Normale, 191 1, p. Si-Ga) et, en parliculicr, pour la correspondance ici envisagée, 
ma Note citée p. 124. 

On pourrait aussi aisément étendre la formule (i4) aux formes qui correspon- 
dent à des fonctions discontinues; pour cela, on n'aurait qu'à modifier plus ou 
moins la définition de Stieltjes. 

Cf. encore sur ce sujet : Lebesgue, Sur les intégrales de Stieltjes et les opé- 
rations fonctionnelles linéaires (Comptes rendus, 12 janvier 1910). 



TIIKDRIK DES FOn.MES QLADR ATIQIKS A LNi: INFIMTK DE VAKIAIILES. I ÎQ 

/( \ ) ./{V)=/{\). D'autre part, d'aprt'-s riiypolhèse l'aile, la 
forme non négative /(A)=\>,+a — M-h ne s'annulera pas 
partout, c'est-à-dire qu'il seia >• o pour an moins un système (Xk). 
Soit (yk) le système qu'on déduit de (x/,) en y appliquant la substi- 
tution /(.V); on a E{y,y)--=f{A.)(x,x)>o; doue (j/;.) ^ (o). 
De plus, moveiinaiil la substitution /(A), le système (jk/^) se repro- 
duit. Par suite, appliquer à (yk) la substitution (aE — \)-, revient 
à y a|)pliquer la substitution (aE — A)-/( V). Or, cette dernière 
substitution correspond à la l'onction o-(ij.) = (À — [j.)-y([j.) dont 
l'ensemble des valeurs reste couipris entre zéro et h'-. Par consé- 
quent, en désignant par (y'/.) ce que devient (yk) lorsqu'on y 
applicpie la substitution aE — \, on a 



(16) 



/, - 1 ( A E — A V- ( y, y ) , h- E( r, .' ' _ , , 

"y^A ^yl ^A 



Mais la quantité h- pourra être choisie aussi petite que l'on 
voudra; d'après l'hypotlièse faite, il y aura toujours un système 
correspondant (jK/r). C'est-à-dire que moyennant un choix conve- 
nable de (yk)', le premier membre de (16) pourra être rendu infi- 
niment petit. Par suite, dans l'hypothèse îaite, )>E — ■ \ n'admet 
pas de réciproque; la valeur A est singubère. 

Pour résumer, a|)pelons avec M. Hilbert le spectre de la forme A 
l'ensemble des \aleurs "a telles que A? ne reste constante dans 
aucun des intervalles (a — -A, À -f- A). Alors, le résultai que nous 
venons d'établir peut être énoncé comme il suit : Les fiouils du 
spectre représenlenl des valeurs singulières par rapport à la 
substitution A; pour toute autre valeur de A, la réciproque 
(aE — V) ' existe et sera fournie par Vintégrale (i5). En 
particulier, lorsque ). = o n'appartient pas au spectre, la réci- 
procpie A~' existe et l'on a 

Le spectre est contenu dans linlervalle {ni. M), extrémités 
comprises. De plus, les deux extrémités m et M appartiennent 
toujours au spectre. En efiet, le spectre constitue, d'après sa défi- 



l40 CHAPITRK V. 

nilioM, un ensemble fermé; soient m' et M' ses deux exlrémilés. 
Alors la forme A^, considérée comme fonction de ç, sera con- 
stante pour ; <^ m' et jxiur ; ]> M'; par conséquent, on peut rem- 
placer dans (i4) les limiles d'intégration par m' — • et M'-!- s, 
où £ désigne une quantité positive arbitrairement j)etile. Appli- 
quée aux fonctions y (ç) = 1 , y"(ç) ^ ç, la (ormule ainsi modifiée 
donne 

/ dK^^-. E, / ^rfAj= A; 

*Jm'—Z ^in' — t 

de là, en observant que A? est monotone, on déduit les inégalités 

/n'E<A^M'E. 

Par suite, m'^m et M'^M. Mais, d'autre part, il n'y a pas de 
valeurs singulières en dehors de l'intervalle (/;^M); donc, on 
aura précisément m' = m et M' = ]M. 

96. Pour pousser encore plus loin l'étude du spectre, introdui- 
sons, à côté de A?, une autre forme P|(jc, :z;), dépendant de 
même du paramètre \. Nous entendons par là, pour chaque valeur 
déterminée de ^, la forme qui correspond à la fonction ./?([J-) = o 
pour [J^<i et I pour [j. = ^. Quant à celte forme, on a, d'après II, 
Pï^o; de plus, d'après \ et II, on a pour tout nombre fini de 
points distincis ç, ,...,;„: P^, + Pç^o + •• • + 1^E« =K- I^e là, il 
ressort aisément (|ue l'ensemble des points ^, pour les(|uels Pf ne 
s'annule pas identiquement, est, s'il en existe, fini ou dénom- 
brable. On appelle cet ensemble le spectre ponctuel àe la forme A. 

Voici encore quelques propriétés de la forme Pc qui ressortent 
immédiatement de sa définition. La relation yf = /^ fournil P|:= Pï 
et, pour E,^^.., la relation ^"^,^^2=0 donne Pç,P?2 = o. Les 
relations y^jj. = ^f^ = zf^ donnent P^ A = APç = ;P^. 

De la dernière de ces relations, il vient l'identité fondamentale 
().E — A)l\= o. Elle nous apprend que tout système (jKa) qu'on 
déduit d'un système (x/,), en y ap|)liquant la substitution P>, , 
fournit une solution du système homogène 

(17) ^Ji — 2^a,Aj'/.= o (;■= 1,2, ...). 

A-=l 

Or, supposons que ). nj)partienne au spectre ponctuel. Dans ce 



THKORIE DES FORMES QUADRATIQUES A UNE IXl'INITÉ DE VARIABLES. i^l 

cas, d'après la définilion du spectre ponctuel, il existe des sys- 
tèmes {JC/() tels que 

E(y, y) = V{(a^,x) = PJx, x) ^ o. 

Par conséquent, pour toute valeur /. ap[)arlenanl au spectre ponc- 
tuel, il existe des solutions non nulles du système homogène (17). 
Inversement, supposons que le système homogène (i-) admetle 
une solution (va) "on nulle, c'est-à-dire telle que E(/;j)^o. 
Appli(|ucr à [fk) la substitution A, revient, d'après (17), à multi- 
plier les j^'A par ).. Par conséquent, appliquer à (j^a) la substitu- 
tion /(V), équivaut à multiplier les j^/t par/(A). En particulier, 
la substitution P? fournira (o) lorsque ç^^ A; et, pour ; = À, elle 
fera correspondre (jka) à lui-même. Enfin, Pà(jKj JK) = E(jK? JK) 
sera, par hypothèse, ^o; donc, À appartient au s])ectre ponctuel. 
Donc, on a le théorème : 

Pour que le système (17) admette une solution non nulle, 
il faut et il suffit que À appartienne au spectre ponctuel. 

11 convient encore d'observer que la formule Pï,P^2 = o (pour 
^, /^ ia) implique le résultat que l'on peut aussi aisément établir 
par une voie plus directe : Deux solutions du système (17), qui 
correspondent à deux valeurs distinctes de\., sont orthogonales 
V une à l'autre. 

97. Il V a entre les formes A.s et Pc une relation très intime que 
nous allons établir. Pour voir cette relation d'une façon nette, intro- 
duisons encore la forme At(x, x); nous entendons par là la forme 
qui correspond à la fonction /(a) = i pour a^; et o pour ix > ;. 
Cela étant, on a évitlemment P| = At — As. Envisageons Aç et At 
comme des fonctions de ;. Elles sont monotones; lorsque \ croît^ 
elles croissent aussi ou, au moins, elles ne décroissent pas. Par 
conséquent, les limites Aç_o, As.,.,,, At.o, At+o existent. De plus, 
comme on a toujours At^A? et, d'autre part, pour £ > o, 
At_£^A^, Aï^£^A|, on aura A5_o^ A|_o ;^ As et .Vt+o^Aç+o=At. 
Enfin, d'après la j)roposition énoncée à la fin du n° 91, on a 
Aï_o = Af et A"|^o— -^1- Par consécpient, les deux limites de gauche 
Aç_o et A^_o coïncident et sont ^ A^; de même, Af_o^= ^t+o^^^ -^t- 
C'est-à-dire que les formes A^ et At, envisagées comme fonctions 



l4i CllAl'ITRi: V. 

de ç, sont conliniies cl égales enlre elles pour tous les ç <|iii 
n'apparlienneiit pas au spectre |)oncluel; pour les |>oints ç du 
spectre ponctuel, elles sont distinctes et ne restent continues que 
si Pf( X, x) = o : en gén(''ral, elles v subissent un chcingenient 
brusque éf^al à Ps (x, x). 

Ajcjiitons, ce (pii est pres(pie évident, (|ue dans l;i |)lupart des 
raisonnements cpii précèdent, par exenij)le dans la formule (i 4). on 
j)ent rein placer A; par Ac. ou. à cause de la SAmétrie, [)ar -(A? + Atl. 

98. Les considérations précédentes pernieltcnt de décomposer 
la forme A, avec M. llilbert, en deux formes plus spéciales. L'une 
de ces formes admettra, sauf |)eut-élre pour le point ç = o qui 
jouera un rôle exceptionnel, le même spectre ponctuel et les mêmes 
formes P? que A; le spectre j)()nctuei de l'autre, s il en existe, se 
réduira au point ç ^ o. 

Faisons d'abord une rem.ircjiie générale. Supposons rpie 
A = 15 -f- C, les formes B el G étant orthogonales entre elles, 
c'est-à-dire telles que BC = CB = o. Dans celt(î hvpollièse, on a 

(i8) /(A)=/(B)-/(C) -/(o;E. 

Cette égalité est é\ identc lorsf[Me / ( 'j.) est [)olynome; pour les 
autres fonctions considérées, on l'obtient en passant à la limite. 

Posons maintenant P(.r, ^) ^ SPj (.r, ^), en étendant la som- 
mation à tous les ç ou, ce qui revient au même, aux \aleurs ç 
qui appartiennent au s|)ectre ponctuel. Les formes P? étant posi- 
tives et comme on a, pour tout nombre fini de points distincts 

;,, ;„ : P?, + ... + P^,iîiE, la série envisagée converge. Or, 

les relations P? =^ P? et I^, P? 2 = " pour ;, ^ Ço^ donnent, après 
sommation, Pr^j=PçP^l^, el en sommant de nou\eau, P-=: P. 
Les relations A"Pç= P? A" = ç" Pï donnent, après sommation, 

(19) A"P = p.v"^ yt"i'î. 

Par suite, on a 
âP(A — PA) = ( A — APjTA = APA — AP^V = APA — APA =0; 

et enfin, en posant AP = P \ = B el \ — B = C. on aura 

BC = CB = o. 



TIlliOKlE I)i:S KOUMliS QLADHATIQLliS A UNK IM'IMTi: DK VARIAlil.KS. 1^3 

I^es foiMiies B et C sont orthogonales entre elles et leur somme 
est A. 

Calculons /'(B) et /"(C). Je dis qu'on a 

En ellet, on a B" = \« l^" = \"P; donc, d'après (19), B"=i:;"Pï. 
l^u■ conséquent, la formule (20) est vraie pour/' polynôme. Sans 
restreindre la généralité, il suffira de l'étendre aux fonctions bor- 
nées y (|ui sont la somme d'une série de polynômes positifs. 
Or, dans ce cas, les formes Ps étant aussi positives, tout revient 
à intervertir Tordre de sommation dans une série double à termes 
positifs, et c est permis. 

Par suite, la formide 1 20) reste exacte pour toutes les lonctions 
envisagées. 

L'expression poury\C) se déduit des formules (i8) et (20) : 

(21) /(C)=/(A)-/(o;P-.2/(:)P?- 

Calculons, en |)arliculier, les formes P? et P'?, analogues aux P5 
et correspondant aux formes B et C. Pour cela, il faut poser, dans 

(20) et (2i), f(<x)-= I pour 'jL=; et o pour -j.^;. Lorsque 
ç ^ o, il résulte P? =: Pf, P? = o. Pour ; = o, on aura 

P;=Po-4-E-P, p; = P. 

Donc, la forme B admet^ sauf pouf ;=:o, le même spectre 
ponctuel et les mêmes formes correspondantes que A; quant à 
la forme G, le spectre ponctuel se réduit au point o et la forme 
correspondante est P = SPs. 

99. L'importance de la décomposition faite consiste en ce 
qu'on peut, dans la résolution du système homogène (17), rem- 
jdaccr la forme A par la forme |)lus spéciale B. Inversement, 
lors(pie l'on connaît l'enseudde des solutions de (17), la forme B 
en sera univoquement déterminée. Pour le voir, il suKit d'ex- 
primer J'î moveniiaut les solutions qui correspondent à ). = ;. 
Nous avons vu que Fensendjle de ces solutions résulte en appli- 
quant à tout l'espace hilbertien la substitution Pc. En l'applicpianl 



144 CHAl'lïRi: V. 

seulement à un sous-enseiiihle tlénoinbrahle parlouL dense de cet 
espace et en orlhogonalisant [' ), on parviendra à définir une suite 
dénombrable (ou finie) de syslènies (/y), (^/."')i •••' orthoî^onaux 
deux à deux, normes, solutions de {i~), et tels que toute solution 
peut être approchée « fortement » par eux ou par leurs combi- 
naisons linéaires. 

Envisa<;eons la forme 



Qi-'-^')=^(^i'Â- 



et la substitution Q qui y correspond. 

Les séries entre parenthèses convergent évidemment. Donc, 
quand il ne s'agit que d'un nombre fini d'éléments {fl')^ l'expres- 
sion au second membre a un sens bien délermitic. De plus, dans 
ce cas, on voit immédiatement (jue 02_-Q ^^ que, par consé- 
quent, ( E — Q )2= E — O. Par suite, E(:r, x) — Q(-2^, ^) est une 
forme positive, c'est-à-dire Q(^, x)^E(x, x), On en conclut 
immédiatement (|ue l'expression au second membie converge dans 
tous les cas et reste ^E(x, x). 

Je dis que P?=: Q. En effet, chacun des éléments (4) se repro- 
duit lorsqu'on y applique Pc, puisque (l/s) est solution de (17), et 
comme les ( //,) sont orthogonaux entre eux et normes, ils se 
re|)roduisent aussi lorsqu'on y a|)plique la sid)stitution Q. l*ar 
conséquent, Pc — Q appliquée à l'un quelconque des systèmes 
(/a), donne zéro. Mais il en sera de même pour toutes les solutions 
de (17), car elles peuvent être approchées indéfiniment par les 
combinaisons linéaires des (l/t)- Enfin, on a Pi = P? et QP^ = Q, 
(Ps — O ) l*ï = Pï — Q ; donc, appliquer V^ — Q à un système, 
revient à y appliquer d'abord P? et puis Pï — Q; mais, en appli- 

('; Cf. le ir 50. Là, il s'ajjissail d'orlhogonaliser les équations elles-mêmes; 
ici, on orthogonalise les solutions par un procédé tout analogue. Après les avoir 
numérotées, on supprime celles qui sont des combinaisons linéaires des précé- 
dentes et on numérote de nouveau, puis on ajoute à chacune d'elles une com- 
binaison linéaire de celles qui précèdent, et cela de sorte que la solution ainsi 
modifiée devienne orthogonale aux précédentes. Enfin, on multiplie par des 
constantes convenables, de sorte quon ait 



*=i 



/'i,')2 



THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES A LNE INFINITE DE VARIABLES. \/\5 

qiianl 1^=, il résulte une solution de (17); et [': — (^, appliquée à 
cette solution, donne zéro. Par suite, Vf — (^ transforme en zéro 
tout l'espace hilbertien ; donc ^1 = Q- 

Ayant décomposé de celte façon chacune des formes quadra- 
lifjues I*f en des carrés de formes linéaires, nous voilà aussi 
arrivé, grâce à la formule B = SçPç, à décomposer d'une façon 
analogue, la forme B; on n'a qu'à remplacer chacun des P^ par la 
somme (^ qui y correspond. Donc, la forme particulière B admet 
une décomposition analogue à (^2); seulement la sommation 
s'étend peut-être à une infinité dénombrable de carrés. Mais dans 
le cas général, lorsqu'on détache de la forme A la partie B qui 
correspond aux solutions du système (17), il reste encore une 
forme C. La forme C est aussi d'un caractère particulier : son 
spectre ponctuel, s'il en existe, se réduit au point ç = o ; la forme 
Cs est fonction continue de ç, sauf peut-être pour ç = o; el par 
conséquent, en excluant, s il est isolé, le point o, le spectre de G 
constitue un ensemble parfait. On appelle cet ensemble parlait le 
spectre confina de la forme A. 

100. Quand A est complètement continue, ces résultais devien- 
nent encore beaucoup plus simples. Dans ce cas, les formes B= AP 
et alors C = A — B sont aussi complètement continues. Je dis que 
C = o. En effet, C n'a pas de spectre ponctuel, sauf peut-être le 
point ; = o; par suite, pour ;^o, le système homogène qui cor- 
respond à ;E — C n'admet pas de solution. Mais, daulre part, si 
un point ? p== o appartenait au spectie de C, ce système pourrait 
être satisfait avec une approximation arbitraire par des élé- 
ments (a?/() tels que E(.r,.r) = i, c'est-à-dire qu'il existerait une 
suite d'éléments (x'"^) tels que E(x^'", .r '") = i et que, de |)lus, 
la suite des éléments qu'on obtient, en y appliquant la substitu- 
tion ;E — C, tend fortement vers (o). De la suite (.2"/"') on pourrait 
tirer une suite partielle {x'J^"^) tendant vers un élément (.Z"^. ), et le 
système homogène ;r^ — C = o admettr.iit la solution [Jr*,.). De 
plus, C étant fort continue, C^^'/""') tendrait fortement vers C(jc]j. ) 
et alors (xJ^?'•') tendrait fortement vers sa limite. Donc on aurait 
E(a^*, x*)=^ I, el alors, le système çE — C = o admettrait une 
solution non nulle. Par conséquent, aucun des points ç ^ o n'ap- 
partient au spectre, et la forme Cç, envisagée comme fonction de ç, 

H. 10 



i46 (Iiai'Hhe v. 

doit èlre coiislanlc j)Oiir z <Co cl aussi pour ; >> o. iJonc on a 



^-.r''^ 



dC'r 



Connue (] = o, V = H ; par suite, A ( jr, x) admet une décompo- 
sition analoi^iie à (2) 



( i). ) A ( .r , .r ) = 2 '"-J ( 2 ^^'' •*'' ) ' *'' •- ■*' ■^'^'"2(2 ^' 



/ = 1 ' A- = 1 / > = 1 ' . A = 1 

les formes linéaires '^/j/,x/t étant normées et orthogonales deux à 
deux. Les coefficients ay parcourent le spectre de V, en prenant 
une ou plusieui-s fois chacune des valeurs ; dont il se compose. 
Pour chacune de ces valeurs, les formes linéaires qui y corres- 
pondent s'obtiennent en décoinposaul la forme Pj. INIais lundis que, 
dans le cas général, la décomposition de P? peut fournir une infi- 
nité de termes, il n'en est pas de même dans le cas particulier 
considéré. JJans ce cas, c'est seulement la valeur ç = o qui pourra 
fournir une infinité de termes; chacune des auti*es en donne un 
nombre fini. De plus, je dis que dans ce cas ay^-o; cette 
assertion inipli(jue évidcnimcnl le fait indiqué. Montrons donc 
que ay-^o. La suite des éléments orlhogonaux et normes 
{Ij/t) (y = 1 , 2, ...), tend vers (o); en y appliquant la substitution A, 
on obtient la suite (p^y^y/,); '^ étant complètement continue, celle 
suite tend fortement vers (o), c'est-à-dire [jl'}->o. 

En résumé, toute forme complètement continue A(^.r, x) 
admet le développement (22), et cela de sorte que ay-vo. 

Il est bien naturel de [)révoir que l'on peut établir ce résultat 
par une voie j)lus directe, sans se servir de la théorie générale du 
spectre. M. liilbert a donné une telle démonstration ( ' ). L'idée 
essentielle de cette démonslralion est fondée sur le fail suivant : 
la forme complètement continue A(^, x)., variée sous la condition 
que E(r, x)^= 1, atteint son maximum M pour un élément (/);.") 
et atteint aussi son minimum m pour un élément (//j^M, et ces 
éléments satisfont res|)eclivement aux systèmes homogènes 
ME — V = o, niM — A^o. De plus, si l'on fait varier \.{x, x) 
en imposant aux (^yi) encore lu condition dètre orthogonaux à cer- 

(') HiLBKiiT, quiilrièmu Mcmoiic, p. joi. 



THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES A LNE INFINITÉ DK VARIABLES. l47 

tains éléments satisfaisant à des systèmes du même type aE — V= o, 
les éléments exlrémaux satisfont à des systèmes du même tvpe. Ce 
f.iil |)eraiet d'épuiser successivement toutes les solutions des sys- 
tèmes homogènes et conduit alors à l'expression {22). 

M. von Kocli a montré que, dans le cas où ^|rt//| et ^ ,€1]/. 

I /. A- 

convergent, on peut aussi obtenir le développement (22) par la 
méthode des déterminants infinis [*). 

LE SPECTRE CONTINU ET LES SOLUTIONS DIFFERENTIELLES. 

loi. Etudions maintenant la forme C qui correspond au spectre 
continu. Pour plus de simplicité, nous supposerons C = A; 
c'est-à-dire que nous ferons l'hypothèse que la forme A n'admet pas 
de spectre ponctuel. Les modifications à faire dans le cas général 
sont presque évidentes; il ne s'y agira que du point ^ = o. 

L'hypothèse faite consiste en ce que le système (17) n'admette 
pour aucune valeur de A des solutions (x/,) telles que '^x'j. converge 
et ^ o. M. Hilhert a donné un exemple très simple d'une telle 
forme A. Le voici : 

(23) A(t, X) = XiX-i^ X-yXs-i- X3X:^-T-. . .. 

Discutons les systèmes (17) qui lui correspondent. Ce sont des 
systèmes récurrents : après avoir choisi ). et a', arbitrairement, 
on peut calculer successivement ^2? ^si •••• Comme, d'après 
rinégalité de Cauchy-Lagrange, on a — E^A^E, nous pourrons 
nous borner à considérer les valeurs ), comprises entre — i et i. 
Posons, avec M. Hellinger, A = cos^ et Xf = csint; on trouvera, 
par un calcul facile à rétablir, 0:^= c sinA'^ pour tous les k. De celte 
façon, en faisant varier t et c, la formule x^^csin/iY donnera 
toutes les solutions de (i 7) pour — i ^ aS i . Or, pour ces solutions, 
Sx^ ne converge pas. C'est-à-dire qu'au point de vue où nous 
nous sommes placés, les (x^) ne sont j)as solutions admissibles, et 
l'on pourrait croire que nos méthodes ne s'aj)pliquent pas à l'étude 
de ces solutions singulières. Mais la partie n est pas encore perdue. 

(') Vos Kocii, Sur un thcoré/ne de M. Hilbert {Matli. Anna/en, l. LXI\, 

Hjio, p. 266- jSS ). 



lf\S CHAPITRE V. 

Envisageons par exemple la solulion ^/;().) = sinÂ(arc cosA) 
comme fonction de À el désignons par^'A les inlégrales des x^Q^)', 
prises par ra|)porl à A le long d'un intervalle I. Comme Ây^ demeure 
borné lorsque Â-vco, la série "Eyl converge. De plus, soient Zf( des 
quantités analogues aux Vf,, mais correspondant à un autre inter- 
valle qui n'cmpic'lc pas sur I : les élénienls ()'a) et {z/,) sont 
orthogonaux entre eux. On son rend coiuplc pai- un calcul lacile, 
et nous en verrons aiissi bientôt les raisons plus jjrolondes. 

L'analogie que présentent les intégrales des solutions singulières 
dans le cas où le spectre ponctuel manque, aux sululions admises 
dans l'autre cas, a suggéré à M. Hellinger l'idée de fonder sur 
l'emploi de ces inlégrales l'étude du spectre continu, sans s'occuper 
des solutions elles-mêmes. Mais il y fut aussi conduit forcément 
par une autre raison inqiorlanle. l^our exposer celte raison, il me 
faut (i'abortl dire à quel point de vue se plaçaient, dans l'étude du 
spectre, M. Hilbert et son école. On sait bien que la condition 
nécessaire et sullisanle pour que deux formes tpiaiiralicpies à 
n variables puissent être lran.»formées l'une dans l'autre par une 
substitution orthogonale appliquée aux variables, consiste en ce 
que les valeurs singulières et leurs ordres de muUiplicilé coïn- 
cident. Quelles sont les conditions qui y correspondent dans le 
cas d'une infinité de variables? En groupant la théorie des formes 
quadrati(pies autour de ce problème, il en ressort une certaine 
déliniilalion des faits à envisager : on se bornera au\ faits cpii 
subsistent lorsqu'on soumet les variables à une substitution ortho- 
gonale quelconque; brièvement, on se borne à étudier les iiwa- 
ridnls orthogonaux de la forme quadrati{jue ('). L'existence 

(') l.a ieinai(]ue suivante periuel de rallacher féUuie des invariaiils oillioj;o- 
naux à l'ordre d'idées où nous nous sommes placé. Soil Ô une substilulion réelle 
et orthogonale, c'est-à-dire telle que. pour ses coefficients o,,;, on ait 

suivant que i= ou --j. Appliquera l'espace hilbertien la substitution O, revient 
à remplacer les formes A par les formes OAO '. Or, on a évidemment 

/(OAO-') = 0/(A)0-'; 
c'esl-à-dire (jue la correspondance entre les A et les/{A) reste inaltérée. 



Tlll':ORIE DES FORMES QUADRATIQUES A UNE INl'IMTK DE VARIABLES. l49 

dune solution admissible du système (i~) |)our une certaine 
\aleurde Xest un tel invariant; en fait, les solutions admissibles 
se correspondent moyennant les mêmes substitutions que les 
formes elles-mêmes. Mais il n'en est pas ainsi pour les solu- 
tions (Xk) telles que S.r| ne converge pas; en fait, les substi- 
tutions orthogonales ne sont pas définies pour de tels systèmes, 
et, dans la plupart des cas, la délinition n'v peut pas être étendue. 
Envisageons donc .Ta comme fonction de A et supposons qu'il soit 
permis dintégrer les équations (17) terme à terme j)ar rapport à X; 
en posant 

•- 
et en appliquant la notation de Stieltjes, nous obtenons 

(■24) f '^dpi^l)-y^aai?/AM)-?/c(^^')]=-o (i ^ t, 2, . . .). 

Voici maintenant la notion de solution difféienticlle qui est 
fondamentale |)Our la théorie de M. Hcllinger. Il entend par là toute 

suite de fonctions continues [pa(^)] telles que / Jp/;(i )]' converge 

vers une fonction continue et que, de |)lus, les fonctions pA(i) 
satisfont au système (24) pour toute valeur de A( et de K-^. 

Pour obtenir de telles solutions, appliquons la substitution V? 
à un système quelconque (ar/,) lel que '^x\ converge; il y cor- 
respondra, pour toute valeur de ;, un système bien déter- 
miné [oa(;)]. Dans riiypothèse faite sur A, la forme As est fonc- 
tion continue de ;, et il en sera de même quant aux fonctions pA(i). 
De plus, S[p/;(;^]- converge vers A?(a:, ^) == As(x, ar), et c'est 
une fonction continue de ç. Enfin, on a 

r '^r/As = A(A>,-Â)J; 

en edel, chacun des deux membres est égal à f[A.), f désignant 
la fonction = ; pour X|^i <C >*-2 et zéro d'ailleurs. On en conclut 
que les fonctions pA satisfont au système (24). 

Les solutions difVérenlielles participent, niutatis mulandis^ 
de toutes les propriétés essentielles des solutions admises des 



I jO CHAPITRK V. 

systèmes [i~)', tout cela revient à ce que leur variation sur îles 
petits intervalles se comporte à peu près comme les solutions 
exactes de (i7). On peut s'en servir, entre antres, pour décom- 
poser la l'orme A en îles parties plus simples et pour étudier 
léquivalence de deux formes au point de \ue des substitutions 
orthogonales. l'our tous les détails, nous renvoyons le lecteur aux 
Mémoires originaux (^ ' ). 

102. Parlons encore dune classe très intéressante de formes 
où tous ces raisonnements deviennent beaucoup plus simples; 
cette classe comprend, entre autres, la forme (20) (-). 

Supposons que les fonctions '.p,(ja), Z'-yd'-), •••• définies sur 
l'intervalle (rt, h) forment un système orthogonal et norme, 
c'est-à-dire supposons que 



f 



?/(,'^)'-fA([^) = 



suivant (|ue i^ k. De plus, nous supposons que pour chaque 
fonction /{y-) intégrable et de carré intégrable, on puisse rendre 
aussi petite qu'on voudra lintégrale 



r 



/^'^)~^(^f'?f'(i'-) 



2 



(') Hellinger, Die Orthogonalinvariantcn (juadratischer Formen ton 
unendlich vieleii Variabeln (l'iièse), GoUingen, 1907. — Xeue Begriïndung 
der Théorie quadralischer Formen von unend/ic/i vieien Veiàndcrlichen 
(Journ. f. reine u. angew. Matli., t. CXXXVI, 1909, p. 210-271). Pour ses 
recherches, M. Hellinger se sert avec grand succt'-s d'une notion très intéressante 
d'intégrale généralisée, analogue à celle de Stieltjcs. Au premier abord, Temploi 
de ces intégrales semble indispensable. Tout récemment, .M. Hahn a découvert 
la relation intime que ces intégrales ont avec les intégrales ordinaires au sens de 
M. Lebesgue, en particulier, avec les fonctions sommables et de carrés sommables 
dont nous parlerons plus loin; et grâce à cette découverte, il est parvenu à 
résoudre complètement le problème d'équivalence de deux formes quadratiques. 
Il a publié ses recherches dans le Mémoire : Ueber die Intégrale des Herrn 
Hellinger iind die Orthogonalinvarianten der qvadratischen Formen von 
unendlich vieien Verânderlichen [Monatshe/te fiir Mathematik u. Physik, 
t. XXIII, 1912, p. 161-224). 

(-) IltLBERT. quatrième Mémoire, p. 207. M. Hilbcrt expose seulement le cas 

particulier où z< ( a ) - — • I^a classe que nnus éludions est comprise dans une 
classe plus étendue, traitée par M. Hellinger. 



THÉORIE DES FORMES Ql AnRATIOl'ES A VSE INFINITÉ DE VARIABLES. l5l 

en choisissant convenablement n et les c/,. On exprime ce dernier 
fait en disant que le système [tpA([^)] est complet ('). Dans le cas 
considéré où le système est aussi orthogonal et norme, le choix 
le plus avantageux des C/< sera fait, pour chncpic /?, en égalant Ck à 

A= I /(,'^)?a(I^)^!-^' 
• Il 

ce qui découle iininédialeiuent de l'égalité 



r 



/(;V)— VcA- oa(i^; 



f/jJl 



=r 



/(a)-y//,'f/,([^) 



d'j. 



-^(A-c,)-'. 



Il en résulte que pour n infini 






(') Comme exemple d'un système orthogonal, norme et complet dans l'inter- 
valle ( — T, tt), citons le système 

II I . I I . 

— =, -^cos|x, — rrsmij:, ^^r cos 2 a, -^sinaij., ..., 

v/— v'~ ' \ ~ v"~ ' V'- 

qui intervient dans la théorie des séries de Fourier. Ce système est évidemment 
orthogonal et norme. Pour voir qu'il est aussi complet, il suffit par exemple 
de rappeler le théorème bien connu de Weierstrass, d'après lequel toute fonction 
continue et de période :>- peut être approchée uniformément par des polynômes 
trigonométriques, en observant, de plus, que pour chaque fonction /( ix) intégrable 
et de carré intégrable, l'intégrale 



/: 



[/(a)--f(;x)]-^f/jx 



peut être rendue arbitrairement petite, en choisissant convenablement la fonc- 
tion »([J.) continue et de période :;-. 

La formule (24), appliquée au cas particulier envisagé, constitue ce (]ue l'on 
appelle le théorème de Parseval ou aussi théorème fondamental des constantes 
de Fourier. — Cf. Huuwitz, Ueber die Fourierschen Konstanten integrierbarer 
Funktionen {Mathematische Annalen., t. LVII, 190^, p. 'l'i^-^i^; t. LI\, 1904, 
p. 553). — Fatou, Séries trigonomélriques et séries de Taylor {Acta mathe- 
matica, t. XXX, 190'i, p. 335- '(oo). 

Tous les systèmes dont il s'agira dans la suite peuvent être ramenés aisément 
au cas considéré. 



132 

c'csl-à-dirc que 



ciixpiTiti-: V. 



f [f(l^)V■^:^=^fi^■ 



\\n^\n, en ajq)lirniaal celle formule ;i -[./(;■'■) -H ^ (;■'•»] cl 
à -\fi'j) — ©('■"•'l- *^^ 6^^ relranclianl, on obtient 

les fonellons / el g y sont supposées inlégrables ainsi que leurs 
carrés. 

'Foules ces considérations, valables quand on donne au mot 
intéi^rale le sens (pie lui a attribué M. Lebesgue, restent valables 
à plus forte raison pour la notion d'inté<;rale classique. Nous 
admettrons, |)our fixer les idées, que les fonctions envisagées 
soient continues ou se composent d'un nombre fini de tiails 
continus. Cela étant, posons 

^" i,k=X 

Les réduites [A(j-, x)\„. [Im^, x')\n seront fournies évidemment 



par les intégrales 



^ n 



U ( 'J. ) 



Z^^/- ?/■' l-*-* 



d'i. 



f 



^3"/, '^/,( ,a) 



par conséquent, la forme A(.r, x) est bornée et l'ensemble de ses 
valeurs est compris, pour E(x, .r) ^ i, entre les bornes inférieure 
et supérieure de la fonction w(u.). De plus, soit \*(x, x) la forme 
définie de façon analogue, à l'aide d'une fonction u* ([)- ): en ])osant, 

dans (24), /(;J.) =: «( ;j.V-p,(;j.), ^([J-) = "*! y-) 'f/. (;J^ ), on trouve 
l'expression des coefficients de AA* : 

r'' 

I a ( ijL ) »* ( ijL ) Oi ( n ) '^/. ( ;JL ) c/ji. 
>- ,1 

En particuliei-, les coefficients de A-, V^, ... se calculent en 
remplaçant M(|j.)par u-{'x), u^(ix), ... dans lexpression de a,/,. 



TllEOUlK DES FORMES QLADRATIQL ES A INE INFINITE DE VAUIABLES. I3J 

Donc, les coefiicienls de /(A) s'expriment par lintégiale 

/ /[ u ( ;jL )] 'j/( ;ji) o/,( tJ.) dix. 

Cette expression pour les coefficients de/(A) permet d'aborder 
sur-le-champ l'étude du spectre et des formes spectrales. Soient Cs, 
C;, C: les ensembles des valeurs u pour lesquelles on a respective- 
ment /^(u.)<:;;, «(jji)<;, «(u)=zç; les coefficients de As, A?, P^ 
sont fournis par l'intégrale 



/ 



{p,([ji) oi,{ \i.) d\x, 



étendue respectivement aux enseml)les (t>, U^p, Cs. Si, par 
exemple, «(a) est continue et admet m et M comme valeurs 
extrêmes, le spectre sera formé par finlervalle (m, M); si elle ne 
passe pas par la valeur ç ni par les valeurs voisines, ç et son voisi- 
nage n'appartiennent pas au spectre; enfin, si elle prend la valeur ç 
le long d'un inler\alle, ç appartient au spectre ponctuel. 
La forme (23) rentre dans la classe considérée en posant 

rt = 0, ^ =: -, II!;t( H-) = 1/ — Sin /. JJ., «( IJL j = COS IJL. 

103. Considérons encore un autre cas particulier qui est inti- 
mement lié à la théorie des séries trigonométriques. Pour étudier 
ce cas, il sera avantageux de modifier l'écriture en faisant varier 
les indices de — a; à -4- a:. Cette modification revient seulement 
à numéroler d'une autre façon les variables Xk-, et, par conséquent, 
elle n'exerce aucune influence sur les résultats essentiels de la 
théorie exposée. 

Posons 






h =^ -. «i'.(;Jt) = ( sinA;jL -i- cos u) = — = cos { k\i. — — )' 



Lorsque k parcourt Imis les nombres entiers de — x à + oo, 
cpA(jJi.) parcourt un système orthogonal, norme et complet. Envisa- 
geons la forme 



.(X,X)= 2. (^ikJCi 



^k: 



I-)4 CHAPITRE V. 

où 



= -^ I u(\i-) cos(t — />■) a d'x / it( ;j. ) sln( t-4- A) ;jl rf,u. 

■* ' ' «y 7j - > . ^ 

Donc, en désignant par a,_A- et [ii/^/f les deux termes du dernier 
membre, A(^, x) esl la somme des deux formes 

-(-00 -t- X 

la forme A^'^ correspond à la fonction paire 
la forme A'-^ correspond à la fonction impaire 

f<,w N U( [J.) U( U) 

,.(-)(;..) = ^ 

On voit que ces tleiix formes appartiennent à des types très parti- 
culiers. Le premier de ces types, qui correspond aux fonctions 
paires, fut considéré pour la première fois par M. Tœplilz; nous 
en parlerons dans le Chapitre suivant. Le second type correspond 
aux fonctions impaires. Posons, par exemple, uÇ<j.) = — r: — 'j. 
pour u. << o et t: — <j. pour y. >> o ; les intégrales considérées 
donnent «/a = -■ r quand / + /.• ^ o et <7/y; = o au cas contraire. 

Les valeurs extrêmes de w( p.) = [x dans Tintervalle ( — -, -) sont tt 
et — - ; donc t: et — 71 sont aussi les bornes supérieure et infé- 
rieure de la forme A(x, a;), et alors (d'après le n" 85) de la forme 
bilinéaire A(a!, y). Ces foi-mes comprennent en particulier les 
formes considérées par M. Hilbert : 

ce 00 



i.k—\ i,k-\ 



OÙ l'accent ajouté au second ï indique quil faut supprimer les 
termes qui correspondent à /=/i. La |)remière des deux formes 
résulte de A(a7, x) en posant ^0 = ^'-t = ^'-.>=^ ... = o; la seconde 



TiiKORin; mes roimics quadratiques a une infinité dk variables. i5î 

se déduit de \(.r, y) en posant jcq^^ x_f = x _2^= • • • = o , 
yo=jKi ^^JK2= • • • ^= o et en renversant encore les signes des 
indices desj^. Donc, ces deux formes restent aussi comprises, pour 
JL{x, x)^i, E(y,y) 5 i •, entre — - et t:. 

L'intérêt particulier que l'on attache à ces formes est motivé par 
le fait qu'elles appartiennent, pour ainsi dire, à la frontière de 
l'ensemble des formes bornées. En fait, il y a des expressions très 
voisines qui ne représentent pas des formes bornées. Considérons, 
par exemple, l'expression 

00 

(TTT]^' 

où a-< I ; eny posant.r| = .r2 = ... = ar,i = -—, j"„^, = j:-„^2=... = o, 
ce qui est conforme ei rhvpothèse E(.r, x) = i , les termes tels 

que i -\- k l£ n -\- i sont tous > ; et comme il v en a 

« ( /i -I- 1 ) , , 111 • 1 ' 

I -H 2 + . . . -f- /^ = ■ ' la valeur de 1 expression dépasse 

- ( n -\- i)*"^^. Donc celte valeur croît indéfinimenl avec n. De 

même, en posant .r, = ... = .rrt= —^> ^„_^, =:... = o dans l'ex- 

yn 

pression 

/, /,■ = 1 
I • /il I \ 'i — I 

on obtient 2 i -| h tv + ••• H — '^- > et cette expres- 

\ 2 n — I / n ' 

sion croît aussi indéfiniment avec /i ( '). 

(') Ce dernier fait peut èlre exprimé en disant que la forme Ijilinéaire bornée 
V . '"^^ n'est pas absolument bornée. Il fut indiqué par MM. Ilellinger et 

JmmU l A" 

Tœplitz dans leur Mémoire cité au n° 57, p. 3oS. Cf. aussi pour des formes ana- 
logues : Tœplitz, Ziir Théorie der quadratischen Formen von unendlich vieleii 
Verànderlichen {Nachr. d. k. Ges. d. Wiss. zu Gotlingen, igio, p. 4'^9-5o6, et 
I. ScHUi!, Bernerlamgen zur Théorie der beschrànkten Bilinearformen mit 
unendlich vielen Verànderlichen {.Journ. f . reine u. angew. Math., l. CXL, 
1911, p. 1-28). 



CHAPITRE VI. 

APPLICATIONS. 



LES EQUATIONS i>iki'eri:ntiem.i:s li.nkaikes. 

10 i. En ctiidiaiiL, (Jaiis le Cluipilie II, la méthode des déterini- 
iiants infinis, nous avons dit (|Lie cette niélhode fut inventée et 
apj)liquée pour la ])reiuièic lois à 1 équation dillérentiellc linéaire 

(l) ■ ^ -T- (Oo-i- aOj, COS^ + 2O0 C0S2 ^ -t-. . .)(V = o 

jK'u- M. Hill. Le raisonnement du savant astronome, trop succinct 
j)0ur le géomètre pur, fut perfectionné et justifié pleinement par 
l'oincaré, et nous avons exposé le raisonnement de ce dernier et 
aussi les recherches ultérieures concernant la convergence des 
déterminants infinis et leur a|)plication aux systèmes d'équations 
linéaires à une infinité d'inconnues. Mais nous ne sommes plus 
revenus à l'équation (i). Nous le faisons maintenant; seulement, 
au lieu de considérer l'équation particulière (i) ('), nous nous 
placerons avec M. von Koch dans un ordre d'idées plus général. 

Envisageons l'équation dillerenlielle linéaire d'ordre n sans 
second membre 

où les coefficients l*i(5), •••, Ph(:;) admettent les développements 

en série de Laurent 

-(- 00 

(3) P,„(5)= 2 «»'/.2'S 



(') LY-quatiun (1) fui étudiée d'une façon délaillée par I'oincahk, loc. cit. 
(n- 17 et l'J). 



APPLICATIONS. I ')7 

convergeant à linLérieur de l'anneau circulaire /■ << | :; | «< Pi. On 
sait, d'après les recherches de Fuchs, qu'il existe au moins une 



intégrale de la forme 



u{z) = z? y a/,;/'-. 



où la série de Laurent converge à l'intérieur de l'anneau. Nous 
nous proposons de déterminer la constante o et les coefficients a^, 
de sorte que u{z) représente une intégrale de réqiiation (2). 

L'équation (i) entre évidemment dans le type envisagé si l'on 
suppose que la fonction h(t) = O0+ 28, cos t -h ■■• est holomorphe 
pour les valeurs réelles de t, et si, de plus, on fait le changement 
de variables z = e'^. 

lOo. Observons tout d'abord qu'on peut supposer, sans res- 
treindre la généralité, P, (:;) ^ o et r ■< i <^ R. En efl'et, ces deux 

, , , . , , , -- /'p,(ci</-- 

hjpolneses reviennent a remplacer u par u ^= ne "' et 

c par z'-=z\/^r; l'équation ainsi modifiée satisfait évidemment 
aux hypothèses faites. 

Cela étant, remplaçons dans l'équation (2) les fonctions P„i(;) 
et u{z) par leurs développements ; la comparaison des coeffîcienls 
donne pour et les a/, les équations 

+ 00 

(4) 2^ ?'-/^(? "•" ''0 ^-Z'- — ^^ (/ = — oc. . .-f- :c), 



OU 



cpo ( p ) = p ( p — I ) . . . ( p — n -+- I ) 

H- p(0 — I). . .(p — /l -1- 3 ) «2,-2-!-. . .-H prt„_i,.-„-Hi+ an-,,, 

et , poury' y^ o, 

oy('p)= p(p — I). . .( p — n + 3)a.2,y_2-f-. . .-H prt„_i,y-„+i-H a„j-„. 
l^uui- mettre le système (4) sous la forme 

-Jl- 30 

(5) y 'i'iic{?)'^ii= o (j =— 3c. . .-H =0), 



I 38 CIIAPITIΠVI. 

de sorle que '^-^11=^ i |»f»tir tous les i. posons 

^'V. ( ? ) = --' r— • 

Oo(p-r-l) 

Soient 0|, ..., p,i les racines de réqualion c;o(o)zz=o; alors les 
pôles des foiictlons rationnelles '^-^i/sip) appartiennent à l'ensemble 
des valeurs 0, — /, ..., o,, — i {i = — oc...4-x) qui sont racines 
de l'une ou l'autre des équations Oo(p -j- i) = o. Envisageons 
maintenant dans le plan de la variable p un domaine D lini ou 
inlini situé entre deux droites parallèles à l'axe des imaginaires 
et tel qu'aucune de ces racines ne se trouve au dedans ou sur la 
frontière de D. Nous allons montrer que la série 

(6) 2 ''^'''^P^l 

converge uniformément dans le domaine D. 

A cet effet, écrivons les polvnomes z.j(z-i-i — j) oùy'^o, 
sous la forme 

ii-2(J)i? + 0"--+ H3(y)( p -I- iy'-^-,.,-^UAj). 

Chacune des expressions H,(y) est la somme tliin nombre fini de 
termes de la {orme J*^ cimj {(][ = o, 1,2, ...). iSous avons supposé 
que les séries (3) sont convergentes dans un anneau comprenant 
la circonférence |^|= i ; donc, les séries 

2 l^'^'^"'>' ^^ =""' ^-'^^ •••) 

y =- =^ 

et, par conséquent, les séries 

-t- 00 
S,= 2 \^^r(/0\ (/• = ^.,3, ...n) 

/,=- = 

sont aussi convergentes. De plus, d'après l'hypotlièse faite sur le 
domaine D, il existe une constante C|, de sorle que 

l < ^- 



APl'LIC.VTIONS. l59 

et il existe une coiisUinle C^ telle que |c -f- i\ -< C-,{i +|<|)- l'ai- 
suite, on a 



2 '■>"-<^'i=2fê¥:?^' = 2: P 



?yi? — '— ./) 






?o(? 



|(S,--S3-^...-S„)C3 2 



^\)'- 



donc, la série (6) converge uniformément. 

D'apiès ce qui précède, le déterminant infini îi(p) qui corres- 
pond au système (5), a|)j)artient au type normal^ il converge ainsi 
que ses mineurs pour toute valeur de p, sauf peut-être pour les 
racines des équations 'fo(p -{- i) ^ o ', de plus, il converge unifor- 
mément dans chaque domaine D du type envisagé. Donc la fonction 
Q(p)est liolomorphe pour chaque point p, sauf pour les racines 
des équations 'Jo(p + ^^ ^^ ^^^ ^'^^ ^ ^^ caractère d une fonction 
rationnelle. Ce dernier fait revient à ce que la même valeur peut 
satisfaire seulement à un nombre fini des équations Oq[o -\- i) ^ o. 
Plus |)récisément, p est un pôle d'ordre m pour la fonction Û(p) 
si parmi les racines de l'écpiation 0(^(p) = o il y en a exactement m 
qui diffèrent de p par zéro ou par un nombre entier; bien entendu, 
on suppose qu'on a compté chaque racine autant de fois que l'in- 
dique son ordre de multiplicité. 

La fonction 0(o) a la ])ériode i ; en effet, l'égalité 

'}/A-(? + l) = '^/+.,A+.(?) 

nous apprend que, en remplaçant p par + i, la valeur du déter- 
minant ne sera pas changée. De plus, si l'on fait tendre p vers 
rinfini. de sorte que sa |)artie réelle reste finie, les fonctions 
ài/f(o) (/^A") tendent vers zéro; donc Q(o)— vi. Par conséquent, 
Q(p) est une fonction rationnelle R(oj) de co = e'-"^P et la fonction 
R est telle que R(o) = (oo) = 1 . Les pôles de R(w) ont nécessai- 
rement la forme coA = e-"^P<, où p^ est racine de l'équation (Oo(p) = o; 
plus précisément, to est un pôle d'ordre m s'il figure m fois parmi 
les nombres e-"^P*. iJonc Pv(w) peut être mise sous la forme 

où P(w) est un polynôme. Soient co^'^ oj^-^ ... 



l6o CHAPITRE VI. 

les racines de P(oj) et posons P( to ) = (J((o — oj'") (w — w'-^) ... ; 
alors la formule R(x ) = i indique que P(w) est aussi d'ordre n et 
que C = I et la forniulc l'»(o)=:i donne 

(0^'^(0^- . . .to'"^ z= 10 I (Oo. . .(i)„. 

Il résulte de celte dernière relation que, en |)0sanl 



P''' = r— lolJOj' 



!/.■) 



on peut choisir la délerinination des logarillnncs de sorte cpie 

p^*^ -h ... -4- p'"' = p, + ... 4- p,/. Par suite, Û(p) |)eul »Hre mise 
sous la l'orme 



n 



sin(p — p/,)- 



106. Considérons maintenant le système (|u'on déduit de (4) 
en multipliant cliarpie équation par la fonction correspondante 



p-p, p-p, p-p„ 



/'o(p) = ', ^'i(?) = jri'^ ' ^ ' ■■■^ ' («V o), 

les pa étant les racines de Técpialion 'fo(?) = '^• 

Les coefficients de ce nouveau système sont des fonctions 
entières de p et il en sera de même quant au déterminant A(p ) du 
système. En fait, ce déterminant appartient au type normal et 
converge, ainsi que ses mineurs, pour toute valeur de p; de plus, 

A(p) = n(p)û(p)où 

n(,,)=ji[^r^l£^£ili. 

/. = 1 

Tout cela revient à ce que les éléments du déleriiiiu;ml A(p) sont 
y/;i(o) = /«/(p) Oo(p + 'r'''''?) ^^ ^1"^ '^ produit inlim l'orme des 
fonctions 

/ o-o,\ ~t^^ / p-û„\ -^-^^ 

/_,7Cp) =- A/(?)?(/?+ t) = ( t+ ^ — j^U ' ■•■ ( i-^ ■' y 

converge absolument vers Hfp), la convergence étant uniforme 
pour tout domaine fini. 



APPLICATIONS. l6l 

JJoiic la fonclioii A(c) peiil ètro mise sons la forme 

Remplaçons dans A(p) les éléments y/A (^'e la ligne numérotée i 
par les quantités correspondantes z^; lors([ue [^j = i , ces quantités 
sont bornées dans leur ensemble; donc le déterminant modifié 
A/(p, Z-) converge absolument. Mais il y a plus; le déterminant 
modifié converge absolument pour toute valeur^,, située au dedans 
de l'anneau ;• <; | :; | •< I\. Pour le voir, considérons d'abord le 
déterminant (pii vient de A(p) en y remplaçant '//a(p) par 
'/.'*(?) ^0^'» ®"' ^^ ^"^ revient au même, en remplaçant 'j>j{p) par 
cpy(p) r[, . Ce déterminant appartient aussi au type normal, ce f[ue 

l'on voit immédiatement en introduisant la nouvelle variable z' ^^ ; 

-Su 

[)our Téqualion diiïéreutielle qui résulte, le déterminant A(p) sera 
remplacé par le déterminant modifié; donc tous les raisonnements 
faits s'a{)pliquent aussi à ce nouveau déterminant. Par suite, en 
remplaçanl, dans ce déterminant, par z^'^^ tous les éléments de la lij^ne 
numérotée i, le déterminant obtenu converge absoluinenl. Or, il 
suit immédiatement de la définition des déterminants absolument 
convergents que la convergence absolue subsiste si l'on multiplie 
cbaque élément par la quantité correspondante 2q~'; en procédant 
ainsi sur le déterminant dernièrementenvisagé, on obtient le déter- 
minant A/(p,^u) dont il s'agissait de prouver la convergence 
absolue. 

107. Lors((ue A(p) ^ o, le S3^slème (4) n'admet, outre la solution 
évidente (o), aucune solution (a/t) telle que les a^ soient bornés dans 
leur ensemble; par conséquent, le système (2) n'admet aucune solu- 
tion de la forme ^PÏaA^^. Soit maintenant p' une des racines de A(p). 
Supposons qu'il existe un indice i de sorte (pie l'un au moins des 

mineurs (1 de A(p') ne s'annule pas. Dans ce cas, les équa- 
tions (/j) admettent, à un facteur près, la solution unique y./,= ( . ) . 
Or, d'après ce (pic nous venons de dire sur le dctcrminaiit A/(p, c), 
la série X(/ ) ■^'' ^^ ■^ii?' 1 ^) coiiv(;rge jioiir toute valeur 3 telle 
11. II 



iGa CHAPITRE VI. 

que /• <; I c I << R ; donc V expression zP' li{o', z) représente, pour 
p = g', lu solution cherchée u{z); et cette solution est unique à 
un facteur près. 

Nous venons de sii|)|>oser que, pour p = p', il existe un 

mineur ( j ^ o. Ce cas se préscnlc loujours quand p' est racine 
simple de A(p). En fait, I;i formule -r- ■=^ / ^ —~ ( ,_ ) inontie 

neltetnent que l'hypothèse ( . ) ^ o j)Our tous les / et k entraîne 

rfA . dbt. , ... 

— = o; et SI -j- = o, p n est pas racine snnpie. 

Quand les quantités c^'', ...,pf"^ sont toutes distinctes et ne 
difTèrent pas par des nombres entiers, toutes les racines de A^(p) 
sont simples. Dans le cas contraire, il j a des racines multiples, et 
pour une telle racine, il peut arriver (jue tous les mineurs du 
premier ordre s'annulent. Soit o' une racine d'oidre m ; en déve- 

loppant -; — suivant les mineurs d'ordre ni, on voit sur-le- 

champ que l'un au moins de ces mineurs ne s'annule pas. Par 
suite, le système (4) admet, pour p = p', un certain nombre £m 
de solutions indépendantes, fournies par les mineurs de A(p'); et 
l'on se rend aisément compte de ce que chacune de ces solutions 
donne lieu à une solution de l'équation différentielle. 

M. von Koch a encore approfondi l'étude du déterminant A(p) 
en se servant d'une méthode qui consiste à appliquer aux détermi- 
nants infinis les principes de la théorie des diviseurs élémentaires ; 
il est ainsi parvenu à calculer et à étudier par une voie nouvelle 
les systèmes fondajnentaux formés par n intégrales indépendantes 
de l'éfpiation différentielle. Je n'insiste pas sur les détails de ce 
calcul; le lecteur qui s'y intéresse consultera avec yrand prolit le 
Mémoire original ('). 

LES ÉQUATIONS INTÉGUALES. 

108. r^e lecteur coniiaîl sans doute riinj)orlance particulière 
(ju'on attache depuis <piel(|ue temps à la théorie des 'équations 



(') II. VON ivocii, Sur /es intégrales régulières des équations dij/'érentielles 
linéaires {Acta niathemutica, t. XVIII, i!^9^, p. 337-'|i()). 



APPLICATIONS. l63 

iiUéyrales. Les principes foiulainenlaux de celle jeune lliéurie se 
trouver! l déjà exposés dans d'excellents Traités et je pourrai me 
borner aux cpiestions liées de plus près au sujet qui nous occu|)e. 

Dans son cinquième Mémoire sur la théorie des équations 
intégrales linéaires, paru en 1906, M. Hilbert a ramené la réso- 
lution de ces é(juations fonctionnelles à celle des systèmes infinis 
d'équations linéaires à une infinité d'inconnues. Le (juatrième 
Mémoire, paru peu avant et dont nous avons rendu compte, avait 
pour but principal de préparer celle application. Dès lors, on a 
traduit la plupart des résultats qui font le sujet du présent Volume, 
en d'autres portant sur les équations intégrales ('). 

Les relations entre les deux théories ne se limitent pas à une 
analogie formelle, mais on peut établir entre leurs objets une 
correspondance réelle. L'idée de celte correspondance revient en 
germe à applicpier la méthode des coefficients indéterminés à des 
séries procédant suivant des/o/^c//o/?5 orthogonales. Soit à consi- 
dérer, par exemple, l'équation intégrale de seconde espèce 

(7) 'H')- f iHs,t)^(t)dt^f{s), 

et stq^posons que l'on y puisse satisfaire par une fonction '-^(5) de 
la fibrine 

OÙ les fonctions ay;(\) constituent un système orthogonal cl norme 
sur l'intervalle («, b). Remplaçons dans l'équation (5(5) par son 
dé\eloppement, multiplions successivement par les a,(5) et inté- 
grons par rapport à s ; l'écjuation intégrale sera traduite dans le 
système 

(8) cf,— V /«,7,9/. =//.■ (i = I, •'^, ■ ■ ■) 



(') Ouire le cinquième Mémoire ile M. Ilillieil. cf. WiiYL, Singulàre 
Integralgleichuni^en {Mathemalische Aiinalen, t. LXVI, 190S, p. 273-3'.>4). — 
l^LANCHEUEL, Nolc sur Ics cquatioiis intégrales singulières {liivista di Fisica, 
Matcniatica e Scienze nalurali, Pavia, 1909, p. 37-53). — Pell, Biort/iogonal 
Systems of functions ( Transactions of the American Math. Soc, l. XI\, 191 1, 
p. i35-iC'|). 



l64 CHAPITRE VI. 

aux inconnues csa, <>ù 

i ils H(s,t):ii(s)oiA.(()dt, /,= / f{s)^,(s)ds. 

Pour rendre exact ce raisonnement, il faudra tout d'abord pré- 
ciser les hjj)Ollièses que l'on fait sur les fonctions (|ui entrent 
dans le calcul et puis montrer que, sous ces liypotlièses, il est 
permis de passer de l'équation ('y) au système (8). Supposons de 
plus que l'on ait choisi les lijpolhèses de sorte (jue le système (8) 
puisse être traité par l'une ou l'autre des méthodes que nous avons 
exposées et qu'il admette une solution (cpA). Voici que se présente 
encore une nouvelle diflicullé. Il ne suffit pas de passer de l'écpia- 
tion (^) au système (8); il faul aussi savoir retourner. C'est-à-dire, 
ayant déterminé les cpiaiitités cs/;, il faut savoir en construire la 
lonction '^{^s). Or, en j^énéral, la série '^'o^'^-ki^s^ ne convergera pas; 
elle sera seulement, pour ainsi dire, un développement foiiuel de 
la ft)nction cherchée. 

Toutes ces questions a[)j)arliennent à la théorie de l'intégration, 
et Ton connaît, suivant les cas, différents moyens pour s'en 
emparer. Dans bien des cas particuliers, la théorie classi(pie de 
l'intégration, (pii remonte à Cauchy, fournit déjà les moyens 
nécessaires; mais en se limitant toujours à cette théorie clas- 
sique, on rencontrerait des comj)lications inattendues, même 
dans des cas simples en apparence, i^ous préférons nous appuyer 
dès le commencement sur la notion d intégrale créée par 
M. Lebesgue. 



109. Considérons un système de fonctions réelles a, (5), 
ao(5), ..., définies dans l'intervalle (a, ^), normées et orthogonales 
deux à deux. Soit de |)lus /(5) une fonction réelle définie dans le 
même intervalle, intégrable et de carré intégrable. JNous appelle- 
rons coordonnées de J {s) relativement au système [a/,(A")] les 
(pianlilésyA fournies par les intégrales 



0.- f /• 



/a = / f{s)iu(s)ds. 



APPLICATIONS. 

l/itlentilé bien connue de Hcssel 



i65 



/. r " - /; " 



cloiiiie 1 UK 



i:;ilil( 






Donc, la série S/^- converge. On peut se demander si la réci|)ro(|ue 
est aussi vraie; c'est-à-dire, étant donnée une suite de nombrcsy/t 
tels r[ue 1'/^- converge, existc-t-il une fonction f{s) admettant 
comme coordonnées les nombres^V? 

Pour que la réponse soit affirmative, il est indispensable de 
donner au mol intégrale le sens que lui attribue M. Lebesgue. Cela 
étant, j'ai démontré qu'il existe, en effet, des fonctions /{s) som- 
mables (intégrables au sens de Lebesgue) et de carrés sommables, 
ayant pour coordonnées les nombresy/i (,')• On obtient une telle 
fonction en considérant la série uniformément convergente 



Pi^)=^Uf Ms)ds: 



la fonction F{s) admet une dérivée, sauf peut-être pour certaines 
valeurs de s qui forment un ensemble de mesure nulle, et la fonction 
/(s) égale à cette dérivée en charpie point où elle existe et prenant 
des valeurs quelconques dans les autres |)oints, est sommable et 
de carré sommable et admet les /a- comme coordonnées. De plus, 
on a pour celte fonction y'(5) 



(9) 






(') I"'. liiKsz, Sur les systèmes orthogonaux de /onctions {Comptes rendus, 
i8 mars 1907). Le même fait fut découvert indépendamment par M. E. Fischer : 
Sur la convergence en moyenne ( Comptes rendus, i3 mai 1907). l'oui- la démon- 
stration détaillée et pour d'autres indications bibliographiques voir mon Mémoire : 
Untersucliungen iiber Système integrierbarer Funklionen {Malhematisclie 
Annalen, t. LXIX, 1910, p. 449*497 )> ou encore l'exposé récent de M. et M""'Young : 
On tlie theorem of Fiiesz-Fisclier{Quarterly Journal of Mathematics, t. XLIV, 
1912, p. 49-88). 



l66 CHAPITRE VI. 

Rappelons de plus que si le syslèmc des fonctions [a;; (a)] esl 
complet, la formule (()) porte sur toute fonction réelle /{s) som- 
mable et de carré sommahle, admettant les /a comme coordonnées 
(n"10!2). En particulier, si/, (s) el fois) ont les mêmes coordonnées, 
la fonction J\ (s) — f-^is) a toutes ses coordonnées égales à zéro 
et l'intégrale de [/, (s) —f^is)]- s"annulc. Par suite/, (s) =/._,{$), 
sauf peut-être pour un ensemble de mesure nulle. Eu égard au 
rôle que jouent ces ensembles dans la théorie de M. Lebesgue, on 
peut donc dire tout simplement que la fonction /(s) est uniquement 
déterminée par ses coordonnées. 

Ilappclons enfin la formule 

XI, " 

f{s)ff(s)ds=^f,ff,, 

que l'on obtient en a|)pliquanl (9) aux fondions -[/(.v) + ^(.ç)] 

et -[/(-v) — A' (•''")] <^' ^^ retranchant le second développement du 
premier. 

Ces résultats s'étendent immédiatement au cas où les fonc- 
tions /(5), fi{s) et les coordonnées/A, ^^^ ne sont plus supposées 
réelles; on aura seulement à remplacer les carrés jiar les carrés 
des valeurs absolues. Il n'est même pas essentiel de supposer 
réelles les fonctions 7.^(5); on n'aura qu'à modifier légèrement les 
définitions et les énoncés. 

Enfin, tous les résultats s'étendent aux fonctions de plusieurs 
variables. En particulier, si [aA(A')] est un système orthogonal, 
norme et complet de fonctions réelles pour l'intervalle (rt, b), le 
système [a/(.ç) aA(^)] le sera également pour le carré a'^s^b, 
a'^l'^b et l'on aura 

(n) f f /(s,OA^(s,t)dsdt 

= y\ f ( f{!:,l)oii{s)rji,_{t)dsdt f f ii{s,t)%i{s)o.i,{t)dsdt, 

où l(;s fonctions /(•"«, t) et ^"(v, /) sont siqiposées sommabics ainsi 
que leurs carrés. 

I 10. Considérons l'équation intégrale ( -). Pour commencer par 



APPLICATIONS. 167 

iiii cas simple, faisions Tliypollièse que les fonctions 11(5, <), f{s) 
soient conlinues. V^n nous servant d'un système orthogonal, 
norme et complet de fonctions réelles ol/s{s), le passage de l'équation 
intégrale (-) au sj'slème "(8) se fera en remplaçant, dans l'éga- 
lité (10), 0(5) par ai{s) et dans (i 1), /{s, t) par H(5, /), g{s, t) 
par y.i(s) 's[t). Comme la série 

(12) 2 I ''''•/■ P= f f MU^, nj'r/.srf/ 

est convergente, la substitution définie par le tableau (A/^) sera 
complètement continue et l'on jiourra appliquer au système (8) et 
au système homogène qui y correspond tous les résultats concer- 
nant cette classe particulière de substitutions linéaires. On pourra 
aussi considérer, en même lemps, l'équation du type transposé 



(i3) 



-^(0- f n(s,f)'}^{s)ds = s:(t: 



qui se traduira également, moyennant le système orthogonal 
[a/, (.y)], en un système 

(l4) 'i^A—^fl,A'h=ff/. (/C-I,2, ...) 

1 = 1 

aux inconnues -Ik- -^ toute solution (oa) du système (8) pour 
laquelle S|cpA|" converge, correspond une fonction ^{s) som- 
mable ainsi que |cp(.f)|-; il en sera de même pour toute solution 

admise ('|a) du système (1 5). La fonction cp(5) — / l\(s, t) '^(t) c/t, 

admettant comme coordonnées les quantités cp, — / Jijk'^^k ^= fi-, 

sera égale à. /(s), sauf peut-être pour un ensemble de mesure nulle. 
Mais tp(.ç) n'est déterminée par les cs/; qu'à une fonction additive près, 
f|ui a pour intégrale zéro. Or, on peut profiter de celte indétermina- 
tion pour obtenir une solution exacte de l'écpiation {'])', la coriec- 
tion nécessaire sera faite par l'éfjuation elle-même. En eflet, la fone- 

r'' 

tion o* (s) ==f{s) -]- I H(.v, <)ç(/) est continue, elle admet les 

mêmes coordonnées que '^{s) <'t, [)ar suite, elle satisfait (:om|)lètc- 
ment à l'équation (-). 



ifiS CHAPITRE VI. 

Le même raisonnement porte sur l'équation (i3). 

Je pense que ces indications sommaires snffisent pour voir com- 
ment on peut traduire tous 1rs résultats concernant les substitutions 
complèlemcnt continues et les syslèmes d'équations rpii y corres- 
pondent, en d'autres qui portent sur les équations inléi^ralcs. 11 est 
aussi facile de voir que l'hypothèse de la continuité de ll(.v, /) 
n'est pas essentielle. En fait, la plus grande partie du laisonne- 
ment qui précède reste inaltérée, quand on suppose seulement 
que les fonctions H(.s, /), \U{s, t)\\ f{s), \f{s)[', -(.), \^{s)\' 
sont sommables. Même si l'on veut être sûr que, par exemple, la 
solution 'S* (s) sera continue, il suffit, au lieu de supposer continue 
la fonction noyau H(5, ^), de la choisir de sorte que la première 
des intégrales 

r u(s,t)dt, f I n(.v, 01^^/' 

représen-te, pour toute valeur de /, une fonction continue de s, et 
que la seconde donne une fonction bornée. Tels sont, par exemple, 
les nojaux \s — / |~^, où a << - • 

Observons enfin que la convergence de la série (12) permet 
aussi d'appliquer aux systèmes (8) et (i4) la méthode des déter- 
minants infinis; on pourra même retrouver, de celte sorte, par un 
calcul facile, toutes les formules obtenues par M. Fredliolm ('). 

111. Pour nous ra[)proclier des équations dont les noyaux pré- 
sentent des singularités plus élevées, nous allons introduire la 
notion de transformation fonctionnelle linéaire. Faisons corres- 
pondre à chaque fonction/(5) du type considéré, c'est-à-dire som- 
mable ainsi que |/|-, une fonction f'{s) appartenant au même 
type, et cela de sorte que 

et que, de plus, il existe une constante M- telle qu'on ait, pour 

(') Cf. Marty, Transformation d'un déterminant in/ini en un déterminant 
de Frcdholm {Bull, des Sciencex math., t. \XXIII, 1909, p. atjfi-Soo). — 
Moli.kult, Sur l'identité du déterminant de Fredliolm et d'un déterminant 
infini de v. Koch ( mêiiic Bulletin, t. XXXVI, 1912, p. i3o-i3G). — iM. M;iriy fait 

l'iiypotlièse que X,|/',n| converge. M. Mollerup adopte colle du texte. 



APPLICATIONS. 169 

louU- (onction ./\.v), 

r.5) f \f(s)Yds^m^- f \f{sWds. 

'■',1 ^n 

Nous appellei'ons trnnsiformation linéaire chaque correspon- 
dance de ce genre. Il est évident que, en faisant correspondre 
aux coordonnées de la fonction f{s) celles de/'(5), on aura défini 
une substitution linéaire de l'espace hilberlien. Inversement, si 
l'on fait correspondre à chaque fonction /(5) du type considéré la 
fonction f {s) dont les coordonnées s'obtiennent en appliquant à 
celles de f{s) une substitution linéaire A, on aura défini une 
transformation fonctionnelle linéaire. 

Je ne tiens pas à suivre dans tous les détails cette relation entre 
les transformations et les substitutions linéaires. Il est manifeste 
que toute la théorie des substitutions linéaires que nous avons 
exposée dans le Chapitre IV peut être traduite en une théorie 
des transformations fonctionnelles linéaires. 

En particulier, sous les conditions imposées antérieurement à 
la fonction H (5, t), l'intégrale 

(16) /'(0= f \Hs,t)fit)dt 

représente une transformation linéaire. De plus, les conditions 
imposées à H(5, /) ne sont pas essentielles; en tout cas, il suffit 
de supposer que l'intégrale (16) existe et que l'hypothèse (i5) soit 
remplie. Mais je me hâte d'observer que la formule (16) n'épuise 
pas les cas possibles; en fait, la transformation identique 
f'[s)=f{s) ou la transformation f (s) = g{s)f{s) [où g{s) 
est une fonction sommable et bornée] ne peuvent pas être mises 
sous cette forme ('). Cette observation donne lieu à une question 
dont nous allons parler au numéro suivant. 

112. L'élude d'une substitution linéaire A lait intervenir 

(') Une étude délaillée de la représentation analytique des transfonnalions 
fonctionnelles linéaires a été donnée par M. Flancherel dans le Mémoire : Contri- 
bution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des inté- 
grales définies {/{endiconti del Cire. mat. di Palermo, t. \XX, 1910, p. 289- 
335). 



IJO CHAPIinE VI. 

d'aulres subslilulions qui y sont lif-es; rappelons la transposée %, 
les subsliuilions itérées A*, les réciproques A~', (E — A)', les 
subslitulions A^*^ étudiées au n" 82 el, dans le cas où A est réelle et 
sjmétriipio, toutes les subslitulions /(A). Supposons maintenant 
qu'on ait à considérer une transformation linéaire ayant la 
forme (16); à cette transformation correspond, moyennant un 
système orthogonal [aA(5)], une substitution linéaire A; cette 
substitution A donne lieu aux autres substitutions que nous venons 
de rappeler; à chacune de ces substitutions correspond, moyen- 
nant le système orthogonal [aA(5)], une transformation fonction- 
nelle linéaire, et pour chacune do ces transformations, on peut se 
demander s'il est possible de la mettre sous l'une des deux formes 

f G{s,t)f{t)dt, cfis)-i- f G(s,()f(t)df. 

Pour les transformations qui correspondent à 31 et aux A^, la 
question revient immédiatement à celle de l'inversion de l'ordre 
de certaines intégrations successives; je n'y insiste pas. Quant à 
A~', on est amené au problème délicat des équations intégrales 
de première espèce, dont il est impossible de rendre compte en 
quelques lignes. Pour (E — A)"', la question implique un des 
problèmes fondamentaux de la théorie des écpiations intégrales 
de seconde espèce. En fait, on sait, depuis les recherches de 
M. Fredholm, que, dans les cas les plus simples, la solution de 
l'équation i^'-j) peut être mise sous la forme 

où la fonclion G(.ç, ^), appelée le noyau résolvant, est indépen- 
dante de la fonction donnée f{s). 

Or, on peut attacher ce fait à la relation 

( E - A ) - 1 = 1^: + ( K — A ) ' A ; 

celte relation nous montre (pie, pour calculer la fonclion G(5, /), 
on n'aura (pi'à appliquer à la fonction Jl(.9, /), considérée comnje 
fonction de 5, la transformation linéaire qui correspond à(E — A)"'. 
Ce procédé dont la légitimité est manifeste lorsque, par exemple. 



APPLICATIONS. 171 

K: iiojaii est conlimi, s'a|)|)li(|iie aussi dans des cas où le iiojaii 
présente des siiij;idai ilcs éle\t'es; tout revient évuleiunicnt à 
démontrer qu'il est permis d'inlorvcrlir l'oidie de certains pas- 
sa};"es à des limites. 

Le même raisonnement porte sur tontes les snhstilntions /"(A) 
(jiii peuvent être mises sons la forme cE+/, (A)A. Je ne j)eux 
pas entrer dans les détails sans pénétrer loin dans la théorie de 
l'intégration; tous mes lecteurs, familiarisés avec cette théorie, se 
construiront aisément les raisonnements nécessaires. 

Enfin il convient d'observer que, non seulement les résultats, 
mais presque tous les raisonnements concernant les systèmes 
d'équations à une infinité d'inconnues ont leurs analogues dans la 
théorie des équations intégrales. On pourra profiter de cette ana- 
logie dans les cas où la considération des fonctions sommables et de 
carrés sommables ne sera pas conforme aux données du problème. 

LKS SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. 

113. Etant donnée une suite indéfinie dans les deux sens (a^), 
nous y attachons un tableau (««vt), en posant a,yt=3'-A^/- Ce 
tableau appartient évidemment à un type particulier que nous 
appellerons le type laurentien^ à cause de la relation qu'il a avec 
les séries 

La théorie des substitutions et des formes laurenliennes qui cor- 
respondent à ces tableaux particuliers est due à M. Tœplitz ('). 

Voici le problème qui conduit le plus immédiatement aux 
tableaux laurentiens. Si l'on se propose de développer en série 
de Laurent le rapport de deux fonctions données par leurs déve- 
loppements de Laurent, la méthode des coeflicients indéterminés 



(') Tœi'Litz, Zur Tfanx/ormation der Scliarcn bilinearer Formen l'on 
unendlich vielen Verànderlichcn {Aac/ir. der Kgl. Ges. dcr Ff'm. ziiGdttingen, 
1307, p. 110-116); Zur Théorie der quadratischcn Formen von unendlich vielen 
Verànderlichen ( mùine Uecueil, 1910, p. 48y-5o6); Zur Tlieorie der quadra- 
lischen und bilinearcn Formen von unendlich vielen Verànderlichen (A/athema- 
tischc Annalcn, t. I.XX, kjii, p. 35i-37()). 



1-2 CHAPITRE VI. 

conduit évidemment à envisaj^er un système d'cqualions linéaires 
à une infinité d'inconnues, et renseml)ie des coefficienls de ces 
équations est représenté par le tableau laurentien (|ui corres- 
pond à la série figurant dans le dénominateur. Nous avons ren- 
contré un problème particulier de cette sorte au n" 13, où nous 
avons rendu compte d'une Note de M. Appell. 

Nous préférons nous placer de suite à un point de vue plus 
général en rattachant l'étude des substitutions et formes lauren- 
licunes à la théorie des systèmes de fonctions orthogonales. Rap- 
|)elons que nous y avons déjà fait allusion au ii" 103, où les coeffi- 
cients de certaines formes quadratiques furent fouinis par des 
coefficients de Fourier. 

114. Envisageons les fonctions 

où /.• varie indéfiniment dans les deux sens. On a évidemment 
1 1^ 

r o/.(i)cû/(A-)f/5 = \ e^^i/'-'i-'N^^c^i = ', 

suivant que k~ l. De plus, le système est complet pour Tinter- 
valle ( — -•, - ); ce qui suit immédiatement de la propriété ana- 
logue du système (cos 271^5, sxnir^ks) (^ = o, 1,2,.. .). Donc les 
fonctions cp forment un système orthogonal, norme et complet 

pour l'intervalle (— f, -] ('). Les coordonnées /a d'une fonc- 
tion /(.s) par rapport au système envisagé sont 

1 

On se rend aisément compte de ce que tous les résultats concer- 

(') Au lieu du système [91(5)], nous aurions aussi pu clioisir le système plus 
familier (e^'*^) rléfini sur l'intervalle (— T:,Tr) ou (o,.)~); ce choix aurait 
pourtant encomhré les l'orinules |>ar des coiistanles nuiiiéri(|ucs sans importance. 



APPLICATIONS. 173 

iianl les svslriiu's orlhoj^onaux formés de fonctions réelles (n"* 10!2, 
lOD) s'appiiciueiit, avec des modifications évidentes, au système 
Ok{s)- En particulier, si /a et ^a désignent les coordonnées des fonc- 
tions /(.ç), ^(5) — sommables, ainsi que \f{s)\-, \ ^{s) |- — l'inté- 
grale du produit/(5) ^(5) est donnée par ^f_kgii- De plus, la coor- 
donnée numérotée k de la fonction /"( — s)'^i{^s) étant évidemment 

égale à /j_a, on a 
1 

(17) J fi— ^- ) .^' ( O ?7Û] cls^ ^ //,_,• gi,. 



Supposons maintenant (pie le tableau («/;;= a/i,_,) donne lieu à 
une subslituliou linéaire (dislributive et bornée) de l'espace liil- 
bertien : 



Dans ce cas, la série S|a/;|- étant convergente, les a/, soûl les 
coordonnées d'une fonction c/.{s) sominable ainsi que |a(.v)|-. Soil, 
de plus, x(s) la fonction du même type admettant comme coordon- 
nées les quantités J7a. Envisageons la fonction x' (s) ^= a( — s)x(s); 
d'après (17), les coordonnées x'^ de cette fonction sont fournies 
par les formules (18). Donc le système orthogonal [0/^(5)] fait cor- 
respondre à la substitution A = («;?_/) la transformation fonction- 
nelle x'(s) = a( — s)x{s). De plus, comme les séries ^|xa|-, 
S|^^|- représentent les intégrales de |a;(5)|-, |a;'(i-)|-, on a 



(19) J \'Ji(-s)x(s)\UislMl f \a;is)\i 



ds. 



Soit C l'ensemble des valeurs s où |a( — .v)|>>M^ et posons 
a:(.s) = I pour cet ensemble et nul ailleurs. L'inégalité (mj) 
donne 



/ h(— Aj|2^5£lMl / ds\ 



et comme |a( — s)\ > M^ dans (S, il résulte que l'ensemble OS doit 
avoir une mesure nulle. Donc, on peut y modifier a(5) arbitraire- 



174 CHAPITRK M. 

ment s;ins allc-rer les coordonnées a^; par conséquent, on peut 
siij)poser <|u'on ail partout |a(5)|^MA. 

On nionlre, par un raisonnement analogue, (]iic si llicrniitien 



(20) 



V 



/) 



a( — s) x( s)\- ds 



reste ^J- pour 1 1 x/t\-= i , l'ensemble des valeurs .v où |a( — ,v)| <! J, 
a la mesure nulle. Donc, on peut aussi supposer (pTon ait par- 
tout |a(.v)|^J. 

Inversement, élanl donnée une fonction soniniable et l)ornée 
a(5), ses coordonnées y.^ donnent lieu à une substitution linéaire 
A = (aA_/). En effet, soit |a(5)|^M; si la fonction ^(s) est soni- 
niable ainsi que |j;(5)|-, les fonctions a:'{s) = y.{ — s)x{s) et 
|j:'(.v)|- le sont également et 






Donc, la substitution A qui correspond à la transformation 
x' [s) ■=^ a( — s)x{^s') est bornée^ et M^^M. 

Supposons maintenant que la substitution laurenlienne A 
admette une réciproque A~'. Dans ce cas, comme la valeur de 

riierniilien (20) doit être ^777— pour tout système {xk) tel 
(pie ï|.rA|-=i, on |)eut supposer que |a(5)|^Tï l"*!"' suite, 

la fonction — — - est bornée et sommable. En désiiinant par yA " les 
a(5) ' 

coordonnées de cette fonction, les tableaux (àA_/), («/T-V) satis- 
font évidemment aux relations générales (pii existent entre les 
coefficients de deux substitutions réciproques; par conséquent, 
la réciproque A"' sera donnée par la substitution lauren- 

tienne (lui correspond à la. fonction — — 

D'une façon plus générab", la réciproque de la substitu- 
tioti ).E — A, lorsqu'elle existe^ est fournie par les coordonnées 

de la f( netion -, , et inversement, lors(/ue cette l'o/iction est 

•^ /. — lis) ' ■' 



APPLICATIONS. 170 

bornée (ou qu'elle peut èlre rendue l)ornée en nt'gligeunl cer- 
taines valeurs .9 (|ui foruienl un ensemble de mesure nulle), la 
réciproque (aE — A)~' existe. 

En particulier, si la fonction y.{s) est continue^ L'ensemble des 
valeurs A pour lesquelles la réciproque de\Yj — A n'existe pas^ 
coïncide a^'ec l'ensemble des valeurs que prend la Jonction y-{s). 
Dans le cas où la série infinie dans les deux sens Sa^c* converge 
dans un anneau circulaire renfermant le point 5 = 1, Tenseuible 
des valeurs singulières de X est fourni par les valeurs que prend 
la série sur la circonférence |ô| = 1 ; donc cet ensemble constitue 
une courbe anal) tique ('). 

115. Supposons mainlenant que la fonction y-{s) soit réelle^ ce 
(jui revient évidemment à supposer que a_/,= 7./, pour tous les /.". 
Envisageons l'iiermilien 

1 

+ X, - 

(21) A(.r, :r)= ^ a/,_/^-,^r/, = / (x(s)\xis)\-^ds. 

/, ^ =: — 00 

2 

Soit M la borne supérieure de la fonction y-{s), prise au sens de 
Lebesgue, c'est-à-dire soit M le plus petit nombre Ici que l'en- 
semble des valeurs s où a(^) > M, soit de mesure nulle. On défi- 
nira d'une façon analogue la borne inférieure m. En faisant varier 
l'iiermilien (21) sous la condition 



(2'2) E(x,x)= 2 k/.i-= f i-^(*-)r^ 



du 



l'ensemble de ses valeurs reste compris évidemment entre m et M. 
De |)lus, en désignant par s une ([uantité positive arbitrairement 
petite, la mesure a de l'ensemble où y-{s) > M — e diffère de zéro; 

donc on peut [)Oser x{s) = -^ pour cet ensemble et o ailleurs. 
Les coordonnées Xk de la fonction x(s) ainsi clioisie satisfont 



(') M. Tœplilz a donué une cLudc délailléc cl Uès inléicssuiile des lableaux 
parliculiers qui conespondenl à des séries eireclives de Laurent; elle se Irouvc 
dans le dernier des travaux précités. 



Ijf"' CHAPITBE VI. 

évideinmeiit à la contlilion (22) et, d'après la formule (21), 

Un raisonnement analogue s'applique sur la borne inférieure m. 
Donc, les bornes supérieure et inférieure de la fonction «(5), 
prises au sens de Lebesgue^ sont aussi les bornes exactes de 
V herniilien \{x, x). 

En particulier, pour que la fonction a(.ç) soit positive ou 
quelle puisse être rendue positive en négligeant un ensemble 
de mesure nulle, il faut et il suffit que V herinilicn A(.r, x) 
soit positif. 

110. Les résultats j)récédciits s'appli(Hiciil iinim-diiilenient ;iu 
problème de délerniincr les dcu\ bornes d une fonclion réelle 
7.{^'i-s) donnée par son développement en série (.le Fouriei'. Soit 

(■23) -aa-\-/ ( a/, cos2~/xS ^ b sini- lis) 

ce développement , dont les eoeflieients sont fournis par les foi- 
mules bien connues 



j.(9.~s ) co^ As its. '-'/.= — / 'Ji('i~s ) s'\nA 



s ds. 



Sans nuu-; préoccuper de la (piestion si la série de Fourier con- 
verge ou non, nous convenons de la considérer comme un symbole 
de la fonction qui y donne lieu. Les eoeflieients uj^ et b/i j jouent le 
rôle de coordonnées; on en déduit les coordonnées par rapportai! 
système orthogonal [^a(-?)] en posant 

xo = - «0. ^/. = 7 («/.• + b/, y/— i), 31-/.. = y.,,— - (a/,— ^/, /— 1) . 

l*oiir déterminer les bornes de la fonclion 7.(2—5), on aura donc 
à envisager l'hermitien (21) formé avec les quantités a/s que nous 
venons de définir. 

Désignons par m„ cl M„ les bornes de la réduite 

n 

( 2/1 ) [A(.r,x)]„= ^ 7.1,-1 Xi x/„ 



APPLICATIONS. 177 

OÙ roii f.iil viirici' les x^ sous lu condiliori 

n 

l)"uue faroti plus gén<'riile, on peut envisager les rédulles 

n 

[k{x,x)\i^n= ^ %i.-iXiXk (l<n); 

le tableau des coefficients ne dépendani que de la dilTérence /* — /, 
les bornes de ces réduites sont ni,i_i et M„ /. 
l*our les bornes considérées, on a évidemnienl 

/«„ ^ m , m,, ^ m „+ , , ÎNl „ | M , M „ ^ M „ + 1 . 

D'autre part, supposons que, pour un certain système (^/t), l'her- 
niitien (21) atteigne à e près sa borne supérieure M, et posons 



^1-. 



pour A = — n, — /i 4- I , ..., n et :r^'" = o pour les autres indices /i. 

La relation 

lim [\(x'"\ .t'"')]„= \(x, t) 

i'ait voir ({ue, pour n suffisamment grand, [A(a;'"^, x^"^)\,i devra sur- 
jKisser la quantité M — 2î. Par conséquent, les valeurs M,j_^ ten- 
dent en croissant vers M pour n — l-^cc. De incme, m„_i-> rti, 
ou, ce qui revient au même, m,i->m, M„— >-M. 

D'après un théorème bien connu, les bornes m,/ et I\J„ de llier- 
milien (24) sont fournies resj)ectivement par la |)lus grande et la 
plus [)elite des racines de l'équation déterminante 

ao — X ai 'x-2 ... 7.,, 

a-i 2u — X a, ... a„ I 



l'^n lésumi-, /es homes supérieure et inférieure ^ au sens <!<' 



itS 



ciiAi'rrHK vr. 



Lebcsgue^ de la fonction y.{2~s) adnicllanl le dc'^'cloppc- 
ment (28) sont les limites, pour n ->x, de la plus grande et la 
plus petite des racines de l' é(/uation 



(lu — -ij- 
(Ci - bi \J — I 

n„ ~ b,i J — 1 



«1 -I- i, \/— I 






bn-\\J — I 



bn 1 v/— 



117. Observons enfin que ces beaux résultais de M. Tœplitz 
peuvent être considérés comme faisant partie d'un groupe de 
théorèmes, dus à divers auteurs, liés plus ou moins aux tableaux 
laurentiens et rentrant tous dans l'ordre d'idées des travaux impor- 
tants et bien connus de MAJ. Landau et Caralhéodory, au sujet du 
célèbre théorème de M. Picard (<). 

Nous indiquerons brièvement les faits j)iincipaux. 

D'après le théorème de M. Picard, une fonction entière qui 
n'est pas constante, prend toute valeur finie donnée, sauf peut- 
être une seule valeur exceptionnelle. Ce théorème, découvert 
en 1^79, fut approfondi en 1904 par iM. Landau d'une façon 
inattendue. M. Landau démontrait (jue pour déterminer un 
cercle [ :; | << R, à l'intérieur duquel la série entière 



ao -H ai 3 -H 



(a,^ 0), 



supposée convergente, prend au moins une fois l'une des valeurs o 
ou I, il suffit de connaître seulement les deux premiers coeffi- 
cients rto> <^i- L'année suivante, M. Carathéodorj a donné la 
valeur précise du rajon R en fonction de rt„ et a^ \ il y fut conduit 
eu attachant ce problème et une grande classe de problènx.'s ana- 
logues au suivant : On se donne les n -\- i premiers termes de la 
série entière 

(■■*:>) - -I- fi^ 4- C25--+- . . . -f- c„5"-i- . . . ; 



(') Cf. les (loiniiiunicalioiis de MM. Tœplilz, CaraUiéodoi y, l'rjcr el l'ischer 
(liendiconli ciel Circolo mat. di Palermo, l. WXII, iijii, p. 191-356), 
(le M. Ileiglotz {Berichte d. K. Sachs. Gcs. d. Wiss. zu Leipzig, l. LXIII, i()i 1, 
p. 5()i-5ii), et de MM. I. Scluir el I'"iobeiiius {SitzungsbericlUe d. K. J'reuss. 

Akad. d. Wiss., i\)\i, j). |-3i.) 



APPLICATIONS. 170 

peut-on déterminer les autres termes de sorte que la série soit 
convergente à tout Vintérieur du cercle | ^ 1 < ' et que la partie 
réelle de la fonciion t/u'ellc représente y soit pailoul positive? 
Voici la réponse de M. Ciiralliéoilorj : Pour que la série (aa) 
puisse être complétée de la manière exigée^ il faut et il suffit 
que le point 

r 1 = C'i , j'; = — C'i' , . . . , y'n = c'n , y"n = — ^« 

(e/,= c;,-hc'i.v/— 

de l'espace réel à 1 n dimensions appartienne au plus petit 
domaine convexe qui contient la courbe fermée définie par les 
équations paramétriques 

jKi = cosO, y; = sinO, ..., r;, = cos«0, j;=:sin/iO. 

Récemment, les recherches de M. Tœplitz dont nons venons de 
parler ont permis de répondre à la question de M. Carathéodory 
sous une forme purement algébrique. Posons Co= i,c^a = Ca; cela 
posé, pour que la série ('î^) puisse être continuée de la manière 
exigée^ il faut et il suffit que Vhermitien 

II 

(■'.6) ^ Ck-iTiX/, 

i, /, = 

soit non négatif. 

L'équivalence des deux conditions fut établie encore par 
MM. Carathéodory, E. Fischer, 1. Scliur et Frobenius dans leurs 
travaux précités. 

Supposons maintenant qu'on se donne tous les coefficients de 
la série (26). Alors on pourra se demander si la série donnée 
représente, à l'intérieur du cercle | g j << i , une fonciion dont la 
partie réelle y reste positive. 

Cette question fut posée et résolue iMdé[)ondaniment par 
M. Carathéodory et par l'auteur (' ). Voici la réponse: Pou/- que la 



(') CAP.ATMKODonY, Ucbcr den Variabilitàtsbereich der Fouriei' sclien Kon- 
stanten von posilivea tiarmonischen Fiinhtinnen (lietidiconti del Cire. mat. di 
Palertno, t. XXXII, 1911, p. 193-217). — F. Ww.f^/., Sur certains systèmex singu- 
liers d'équations intégrales [Annales de l'École Normale, 3- série, t. XXVIII, 
191 I , p. 33-6!). 



l8o CIIAPITRK VI. — APPLICATIONS. 

série (2.5) soil convergente à V intérieur du cercte\ s | <! i et que^ 
déplus^ la partie réelle de la fonction qu'elle représente y 
reste partout positii'e, il faut et il sufjit que V une ou l'autre 
des deux conditions équivalentes que nous venons d' énoncer 
soit satisfaite pour tout entier n. 

En efTet, si l'on pose z ^ re-'^^^~\ la parlle n'cllc de la 
série (ay) clevienl 

( -^.y ) r "*" ^ ^ ^''>: ''^' cos 2 A- t: 5 — c'jt /'^ s I n 2 /i - s), 

et nous exigeons que, pour /• <; i , cette série converge et repré- 
sente une fonction positive. Pour rpi'il en soit ainsi, il faut, 
d'après le n" llo, (jue l'henni lien 

-1-00 

existe et soil positif |)Our tous les /• <; i . Donc, en particulier, il 
faut (pie les réduites soient positives pour /• -< i ; jiar conséquent, 
en passant à la limite /• = i , les hermitiens (26) devront élie non 
négatifs. D'autre paît, supposons que, ))Our chacpie valeur de 
l'entier /î, l'Iicrmitien (26) est non iiégalif. En posant .r,:=i, 
X2= ■ • ■ = a?„_, = o, Xn = — c„, riiermiticn (26) devient 1 — \''ii\'- 
Donc, on a I c« I 5 I et cela pour tous les n. Par suite, les séries 
(25) ('^7) et la série 



(28) V |,.,,.i/.ir2_:2 /•2i/.i = 



/,=-» ^=-00 



convergent pour tous les r << i • De plus, comme la série (28) 
converge, on peut appliquer les résultats établis au n" llo; il s'cn- 
suit que la fonction liaiinonicpie définie par la série (27) est ^ o 
pour tous les ;• -< i . linfin, on sait qu'une fonction harmonique 
ne peut altcindic son minimum à Tintérieur d'un domaine où elle 
existe; donc, la fonction (27) csl positive j)our tous les /• •< i . 

Bien d'autres questions de ce genre se trouvent encore traitées 
dans les travaux cités en tête du présent numéro, en particulier 
dans le Mémoire de MM. Garathéodory et Fejér. 



TABLE DES MATIÈRES. 



Pages. 

Préface v 

CHAPITRE I. 

LES COMMENCEMENTS DE LA THÉORIE. 

Afélliode (les coefficienls indéterminés i 

Fourier et le principe des réduites 2 

Fûrstenau, Kullcritzsch 8 

La Note de M. Appell et la criticjue de Poincaré n 

CHAPITRE II. 

LES DÉTERMINANTS INFINIS. 

Historique et généralités 21 

Les déterminants normaux 2^ 

Application des déterminants normaux aux systèmes d'é(|uations. Les mineurs 

d'ordre supérieur et le lliéorôine de .M. von Kocli 28 

Les déterminants ai)solument convergents 33 

CHAPITRE m. 

ESSAI d'une théorie GÉNÉRALE. 

Introduction 4- 

Les illégalités fondamentales 43 

Le problème. Tiiéorcme de M. Landau 4'J 

Une condition nécessaire 4*^ 

La condition est aussi suffisante. Cas où il y a un nnmbie fini d'équations.. 49 

Théorèmes concernant les suites de systèmes j ^^ i 55 

Cas où il y a une infinité d'équations 59 

Les systèmes homogènes 63 

Le cas p = 2. La théorie de M. Srlnnidt (>i 

Les cas p = i et p — > oc ^^3 

CHAPITRE IV. 

LA THÉORIE DES SURSTITUTIONS LINÉAIRES A UNE INFINITÉ DE VARIARLES. 

F^cs substitutions linéaires t8 

Les formes biliné-aires et les subslilulions transposées 82 



ï8l TABI.K PFS MATIICHKS. 

PaRos. 

L'inversif)!!' des subsliliilions linéaires. . . .• '. 85 

Les siibslilutions compléleincnt conliniies (j4 

Suites cl séries de subsliUilions idI) 

liuiile de la réci|)ro(|uc { K — >i A ) ' en fuiicliuii de A ii.i 

CUM'ITUE V. 

LA TilKOlUK UES l'OlOlKS (JUADUATIQUliS A UNE INFIMTl': DK VAll I AIÎI.KS. 

Généralilés. Les formes (jiiadratiques à un nombre Uni de variables 123 

Les formes quadratiques à une infinité de variables. Suites et produits 
symboliques 12b 

Les fonctions symboliques d'une forme quadratique. Etude de la correspon- 
dance entre les fonctions d"une variable et les fonctions symboliques 12S 

Application de la correspondance au lalcul de la réciproque ( aE — A)"' et 
à l'étude du spectre i35 

Le spectre continu et les solutions did'ércntielles i'l7 

CHAPITRE VL 

APPLICATIONS. 

Les équations difTérenlielles linéaires i56 

Les équations intégrales 162 

Les séries trigonométricjucs 171 



FIN DE LA TABLE DES MATIKHES. 



.''it33n Paris. - Imprimerie GAUTHIER-VILLARS, qunl des Granda-Auguttins, ib. 



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Riesz, Frigyes 

Les systèmes d'équations 
linéaires 



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